Пусть частица массой m и с зарядом e влетает со скоростью v в электрическое поле плоского конденсатора. Длина конденсатора x, напряженность поля равна Е. Смещаясь в электрическом поле вверх, электрон пролетит через конденсатор по криволинейной траектории и вылетит из него, отклонившись от первоначального направления на y. Под действием силы поля, F = eE = ma частица движется ускоренно по вертикали, поэтому . Время движения частицы вдоль оси ох с постоянной скоростью . Тогда . А это есть уравнение параболы. Т.о. заряженная частица движется в электрическом поле по параболе.

3. Движение заряженных частиц в магнитном поле .

Рассмотрим движение заряженной частицы в магнитном поле напряженностью Н. Силовые линии поля изображены точками и направлены перпендикулярно к плоскости рисунка (к нам).

Движущаяся заряженная частица представляет собой электрический ток. Поэтому магнитное поле отклоняет частицу вверх от ее первоначального направления движения (направление движения электрона противоположно направлению тока)

Согласно формуле Ампера сила, отклоняющая частицу на любом участке траектории равна , ток , где t - время, за которое заряд e проходит по участку l. Поэтому . Учитывая, что , получим

Сила F называется лоренцевой силой. Направления F, v и H взаимно перпендикулярны. Направление F можно определить по правилу левой руки.

Будучи перпендикулярна скорости , лоренцева сила изменяет только направление скорости движения частицы, не изменяя величины этой скорости. Отсюда следует, что:

1. Работа силы Лоренца равна нулю, т.е. постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей (не изменяет кинетической энергии частицы).

Напомним, что в отличие от магнитного поля электрическое поле изменяет энергию и величину скорости движущейся частицы.

2. Траектория частицы является окружностью, на которой частицу удерживает лоренцева сила, играющая роль центростремительной силы.

Радиус r этой окружности определим, приравнивая между собой лоренцеву и центростремительную силы:

Откуда .

Т.о. радиус окружности, по которой движется частица, пропорционален скорости частицы и обратно пропорционален напряженности магнитного поля.

Период обращения частицы T равен отношению длины окружности S к скорости частицы v: . Учитывая выражение для r, получим . Следовательно, период обращения частицы в магнитном поле не зависит от ее скорости.

Если в пространстве, где движется заряженная частица, создать магнитное поле, направленное под углом к ее скорости , то дальнейшее движение частицы представит собой геометрическую сумму двух одновременных движений: вращения по окружности со скоростью в плоскости, перпендикулярной силовым линиям, и перемещения вдоль поля со скоростью . Очевидно, что результирующая траектория частицы окажется винтовой линией.

4. Электромагнитные счетчики скорости крови.

Принцип действия электромагнитного счетчика основан на движении электрических зарядов в магнитном поле. В крови имеется значительное количество электрических зарядов в виде ионов.

Предположим, что некоторое количество однозарядных ионов движется внутри артерии со скоростью . Если артерию поместить между полюсами магнита, ионы будут двигаться в магнитном поле.

Для направлений и B, показанных на рис.1., магнитная сила , действующая на положительно заряженные ионы направлена вверх, а сила , действующая на отрицательно заряженные ионы, направлена вниз. Под влиянием этих сил ионы движутся к противоположным стенкам артерии. Эта поляризация артериальных ионов создает поле E (рис.2), эквивалентное однородному полю плоского конденсатора. Тогда разность потенциалов в артерии U диаметром d связан с Е формулой . Это электрическое поле, действуя на ионы, создает электрические силы и , направление которых противоположно направлению и , как показано на рис.2.

Концентрация зарядов на противоположных стенках артерии будет продолжаться до тех пор, пока электрическое поле не возрастет настолько, что = .

Для состояния равновесия можно записать ; , откуда .

Таким образом, скорость крови пропорциональна напряжению, возрастающему поперек артерии. Зная напряжение, а также значения B и d, можно определить скорость крови.

Примеры решения задач

1. Вычислить радиус дуги окружности, которую описывает протон в магнитном поле с индукцией 15 мТ, если скорость протона 2 Мм/с.

Радиус дуги окружности определится по формуле

2. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U=600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3Т и стал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Работа, совершаемая электрическим полем при прохождении протона ускоряющей разности потенциалов, превращается в кинетическую энергию протона:

Радиус окружности можно найти по формуле

Найдем из (1) v: Подставим это в (2):

3. Какую энергию приобретет электрон, сделав 40 оборотов в магнитном поле циклотрона, используемого в целях радиационной терапии, если максимальное значение переменной разности потенциалов между дуантами U = 60кВ? Какую скорость приобретет протон?

За 1 оборот протон дважды пройдет между дуантами циклотрона и приобретет энергию 2eU. За N оборотов энергия T = 2eUN = 4,8 МэВ.

Скорость протона можно определить из соотношения , откуда

Лекция №7

1. Электромагнитная индукция. Закон Фарадея. Правило Ленца.

2. Взаимная индукция и самоиндукция. Энергия магнитного поля.

3. Переменный ток. Работа и мощность переменного тока.

4. Емкостное и индуктивное сопротивление.

5. Использование переменного тока в медицинской практике, его воздействие на организм.

1. Электромагнитная индукция. Закон Фарадея. Правило Ленца.

Ток, возбуждаемый магнитным полем в замкнутом контуре, называется индукционным током, а само явление возбуждения тока посредством магнитного поля – электромагнитной индукцией.

Электродвижущая сила, обуславливающая индукционный ток, называется электродвижущей силой индукции.

В замкнутом контуре индуцируется ток во всех случаях, когда происходит изменение потока магнитной индукции через площадь, ограниченную контуром – это закон Фарадея .

Величина ЭДС индукции пропорциональна скорости изменения потока магнитной индукции:

Направление индукционного тока определяется правилом Ленца:

Индукционный ток имеет такое направление, что его собственное магнитное поле компенсирует изменение потока магнитной индукции, вызывающей этот ток:

2. Взаимная индукция и самоиндукция являются частным случаем электромагнитной индукции.

Взаимной индукцией называется возбуждение тока в контуре при изменении тока в другом контуре.

Предположим, что в контуре 1 идет ток I 1 . Магнитный поток Ф 2 , связанный с контуром 2, пропорционален магнитному потоку, связанному с контуром 1.

В свою очередь магнитный поток, связанный с контуром 1, ~ I 1, поэтому

где M - коэффициент взаимной индукции. Предположим, что за время dt ток в контуре 1 изменяется на величину dI 1 . Тогда, согласно формуле (3), магнитный поток, связанный с контуром (2), изменится на величину , в результате чего в этом контуре появится ЭДС взаимной индукции (по закону Фарадея)

Формула (4) показывает, что электродвижущая сила взаимной индукции, возникающая в контуре, пропорциональна скорости изменения тока в соседнем контуре и зависит от взаимной индуктивности этих контуров.

Из формулы (3) следует, что

Т.е. взаимная индуктивность двух контуров равна магнитному потоку, связанному с одним из контуров, когда в другом контуре идет ток, равный единице. M измеряется в Генри [Г = Вб/А].

Взаимная индуктивность зависит от формы, размеров и взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости среды, но не зависит от силы тока в контуре.

Контур, в котором изменяется ток, индуцирует ток не только в других, соседних, контурах, но и в себе самом: это явление называется самоиндукцией .

Магнитный поток Ф, связанный с контуром, пропорционален току I в контуре, поэтому

где L - коэффициент самоиндукции, или индуктивность контура.

Предположим, что за время dt ток в контуре изменяется на величину dI. Тогда из (6) , в результате чего в этом контуре появится ЭДС самоиндукции:

Из (6) следует, что . Т.е. индуктивность контура равна связанному с ним магнитному потоку, если в контуре идет ток, равный единице.

Явление электромагнитной индукции основано на взаимных превращениях энергий электрического тока и магнитного поля.

Пусть в некотором контуре с индуктивностью L включается ток. Возрастая от 0 до I, он создает магнитный поток .

Изменение на малую величину dI сопровождается изменением магнитного потока на малую величину

При этом ток совершает работу dA = IdФ, т.е. . Тогда

. (9)

1. Переменный ток. Работа и мощность переменного тока.

Синусоидальная ЭДС возникает в рамке, которая вращается с угловой скоростью в однородном магнитном поле индукцией В.

Поскольку магнитный поток

где - угол между нормалью к рамке n и вектором магнитной индукции В, прямо пропорционален времени t.

По закону электромагнитной индукции Фарадея

где - скорость изменения потока электромагнитной индукции. Тогда

где амплитудное значение ЭДС индукции.

Эта ЭДС создает в контуре синусоидальный переменный ток силой:

, (13)

где максимальное значение силы тока, R 0 - омическое сопротивление контура.

Изменение ЭДС и силы тока совершаются в одинаковых фазах.

Эффективная сила переменного тока равна силе такого постоянного тока, который имеет ту же мощность, что и данный переменный ток:

Аналогично рассчитывается эффективное (действующее) значение напряжения:

Работа и мощность переменного тока рассчитываются с помощью следующих выражений:

(16)

(17)

4. Емкостное и индуктивное сопротивление .

Емкостное сопротивление. В цепи постоянного тока конденсатор представляет собой бесконечно большое сопротивление: постоянный ток не проходит через диэлектрик, разделяющий обкладки конденсатора. Цепи переменного тока конденсатор не разрывает: попеременно заряжаясь и разряжаясь, он обеспечивает движение электрических зарядов, т.е. поддерживает переменный ток во внешней цепи. Т.о., для переменного тока конденсатор представляет собой конечное сопротивление, называемое емкостным сопротивлением. Его величина определяется выражением:

где - круговая частота переменного тока, С - емкость конденсатора

Индуктивное сопротивление . Из опыта известно, что сила переменного тока в проводнике, свернутом в виде катушки, значительно меньше, чем в прямом проводнике той же длины. Это означает, что помимо омического сопротивления проводник имеет еще дополнительное сопротивление, зависящее от индуктивности проводника и потому называемое индуктивным сопротивлением. Физический смысл его состоит в возникновении в катушке ЭДС самоиндукции, препятствующей изменениям тока в проводнике, а, следовательно, уменьшающей эффективный ток. Это равносильно появлению дополнительного (индуктивного) сопротивления. Его величина определяется выражением:

где L - индуктивность катушки. Емкостное и индуктивное сопротивления называются реактивными сопротивлениями. На реактивном сопротивлении электроэнергия не расходуется, этим оно существенно отличается от активного сопротивления. Организм человека обладает только емкостными свойствами.

Полное сопротивление цепи, содержащей активное, индуктивное и емкостное сопротивления, равно: .

5. Использование переменного тока в медицинской практике, его воздействие на организм .

Действие переменного тока на организм существенно зависит от его частоты. При низких, звуковых и ультразвуковых частотах переменный ток, как и постоянный, вызывает раздражающее действие на биологические ткани. Это обусловлено смещением ионов растворов электролитов, их разделением, изменением их концентрации в разных частях клетки и межклеточного пространства. Раздражение тканей зависит также и от формы импульсного тока, длительности импульса и его амплитуды.

Так как специфическое физиологическое действие электрического тока зависит от формы импульсов, то в медицине для стимуляции нервной системы (электросон, электронаркоз), нервно-мышечной системы (кардиостимуляторы, дефибрилляторы) и т.д. используют токи с различной временной зависимостью.

Воздействуя на сердце, ток может вызвать фибрилляцию желудочков, которая приводит к гибели человека. Пропускание тока высокой частоты через ткань используют в физиотерапевтических процедурах, называемых диатермией и местной дарсонвализацией.

Токи высокой частоты используются также и для хирургических целей (электрохирургия). Они позволяют прижигать, «сваривать», ткани (диатермокоагуляция) или рассекать их (диатермотомия).

Примеры решения задач

1. В однородном магнитном поле индукцией В = 0,1 Т равномерно вращается рамка, содержащая N=1000 витков. Площадь рамки S=150см 2 . Рамка вращается с частотой . Определить мгновенное значение ЭДС, соответствующее углу поворота рамки в 30º. =-

Подставив в (1) выражение для L из (2), получаем:

Подставляя в (3) объем сердечника как V = Sl, получим:

(4)

Подставим в (4) численные значения.

14.1 Заряженная частица в электростатическом поле.

Уравнение движения частицы в электростатическом поле имеет вид

\(~m \vec a = q \vec E(x,y,z)\) . (1)

Так как электростатическое поле является потенциальным, то для движущейся частицы выполняется закон сохранения энергии, на основании которого можно записать в виде уравнения

\(~\frac{m \upsilon^2}{2} + q \varphi(x,y,z) = \operatorname{const}\) . (2)

где ϕ (x , y , z ) - потенциал электростатического поля.

Это же уравнение часто формулируется в иной форме: изменение кинетической энергии частицы равно работе сил электростатического поля. Работа сил поля не зависит от формы траектории частицы (Рис.83) и равна произведению заряда частицы на разность потенциалов между начальной и конечной точкой траектории

\(~\frac{m \upsilon^2_2}{2} - \frac{m \upsilon^2_1}{2} = q(\varphi_1 - \varphi_2)\) . (3)

Обратите внимание на расстановку индексов в этом уравнении: увеличение кинетической энергии частицы равно уменьшению ее потенциальной энергии!

14.1.1 Движение заряженной частицы в однородном электростатическом поле.

В однородном электрическом поле, сила, действующая на заряженную частицу, постоянна как по величине, так и по направлению. Поэтому движение такой частицы полностью аналогично движению тела в поле тяжести земли без учета сопротивления воздуха. Траектория частицы в этом случае является плоской, лежит в плоскости, содержащей векторы начальной скорости частицы и напряженности электрического поля (Рис. 84). Поэтому для описания положения частицы достаточно двух координат. Удобно одну из декартовых осей координат направить вдоль направления вектора напряженности поля (тогда движение вдоль этой оси будет равноускоренным), а второй перпендикулярно вектору напряженности (движение вдоль этой оси – равномерное). Начало отсчета удобно совместить с начальным положением частицы.

Простейший пример: частица массы m , несущая электрический заряд q движется в однородном электрическом поле напряженности \(~\vec E\), в начальный момент ее скорость равна \(~\vec \upsilon_0\). Выберем ось Oy в сторону противоположную направлению вектора \(~\vec E\), начало отсчета совместим с начальным положением частицы (Рис. 85). Частица будет двигаться с постоянным ускорением \(~g* = \frac{qE}{m}\), направленным «вертикально вниз», поэтому дальнейшее описание движения, со всеми его особенностями можно переписать с решения задачи о движении тела в поле тяжести без учета сопротивления воздуха.

Опишем принцип работы электростатического отклоняющего устройства , используемого в ряде приборов (например, в некоторых типах осциллографов) для изменения направления движения потока электронов. Пучок электронов, имеющих скорость \(~\vec \upsilon_0\), влетает в пространство между двумя параллельными пластинами длиной h , между которыми создано постоянное электрическое поле напряженности \(~\vec E\). На расстоянии l от пластин расположен экран, на который попадает этот пучок электронов (Рис. 86). Найдем зависимость отклонения пучка от напряженности приложенного поля.

Введем декартовую систему координат, как показано на рис. 86. При движении электронов между пластинами на них действует постоянная сила \(F = eE\) (e - заряд электрона, m - его масса), которая сообщает ему ускорение \(~a = \frac{e}{m}E\), направленное вдоль оси Oz . Будем считать, что длина пластин такова, что электроны на нее не попадают, кроме того, пренебрежем краевыми эффектами, то есть будем считать, что поле между пластинами однородное, а вне пластин отсутствует. Так как проекция электрической силы на ось Ox равна нулю, то проекция скорости на эту ось не изменяется и остается равной υ 0 . За время пролета между пластинами \(~t_1 = \frac{h}{\upsilon_0}\) электрон приобретет компоненту скорости, направленную вдоль оси Oy \(~\upsilon_y = a t_1 = \frac{eE}{m} \frac{h}{\upsilon_0}\) и сместится на расстояние \(~\delta_1 = \frac{1}{2} a t^2_1 = \frac{eE}{2m} \left (\frac{h}{\upsilon_0} \right)^2\) . После вылета из области поля электрон будет двигаться равномерно, поэтому за время движения до экрана \(~t_2 = \frac{l}{\upsilon_0}\) дополнительно сместится вдоль вертикальной оси на расстояние \(~\delta_2 = \upsilon_y t_2 = \frac{eE}{m} \frac{h}{\upsilon_0} \frac{l}{\upsilon_0} = \frac{eE}{m} \frac{hl}{\upsilon^2_0}\). Суммарное вертикальное смещение потока будет равно

\(~\Delta z = \delta_1 + \delta_2 = \frac{eEh}{m \upsilon^2_0} \left (\frac{h}{2} + l \right)\) .

Из этой формулы следует, что смещение пропорционально напряженности поля, следовательно, и разности потенциалов между отклоняющими пластинами. Таким образом, изменяя напряжение между пластинами, можно изменять положение пучка электронов на экране.

14.1.2 Электронно-лучевая трубка с электростатическим отклонением.

Электронно-лучевые трубки используются для получения изображения на экране. Принципиальная схема такой трубки показана на рис. 87.

Узкий пучок электронов, формируемых электронной пушкой 1 , ускоряется под действием электрического поля, созданного между пушкой и экраном 4 . На своем пути пучок электронов проходит через две пары отклоняющий пластин 2 , 3 . К пластинам прикладывается переменное напряжение, которое создает электрические поля между пластинами, отклоняющее электроны в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Экран покрыт специальным слоем, который дает кратковременные вспышки света , при попадании на него движущихся электронов. Все устройство находится в стеклянной колбе, из которой откачан воздух. Конечно, реально действующий прибор гораздо сложнее, описанной здесь принципиальной схемы.

Изучаемый сигнал подается только на одну пару отклоняющих пластин, отклонение луча в перпендикулярном направлении необходимо, чтобы «развернуть» сигнал на экране, поэтому напряжение, подаваемое на горизонтально направляющие пластины, называется разверткой. Пусть на горизонтально отклоняющие пластины 2 подается напряжение, линейно возрастающее со временем \(U_x = bt\), а на вертикально отклоняющие пластины 3 подается напряжение, зависимость от времени которого U (t ) изучается. Так как отклонения луча на экране вдоль соответствующих направлений пропорциональны напряжениям, приложенным к отклоняющим пластинам, то его закон движения на экране описывается уравнениями

\(~\left\{\begin{matrix} x = K_x U_x = K_x bt \\ y = K_y U_y = K_y U(t) \end{matrix}\right.\) . (1)

Уравнение траектории луча на экране можно получить в явном виде, избавившись от времени с помощью первого уравнения:

\(~t = \frac{1}{K_x b} x ; y = K_y U \left(\frac{1}{K_x b} x \right)\) . (2)

Таким образом, траектория луча на экране совпадает с графиком функции U (t ), что позволяет ее визуально наблюдать. С другими, наиболее часто применяемыми способами развертки мы познакомимся позднее, при изучении теории колебательных процессов.

Как известно, сила, действующая на заряженную частицу в электромагнитном поле, имеет вид F=q(E+rxB). (12.1) При заданных полях Е и В задача о движении заряда в поле -это обычная задача классической механики о движении частицы под действием известных сил. Строго говоря, движущаяся с ускорением заряженная частица излучает электромагнитные волны и испытывает с их стороны ответное воздействие. Но этот эффект, вообще говоря, мал, и во многих случаях им можно полностью пренебречь. Но даже и тогда задача остается очень сложной, если заданные внешние поля неоднородны. В однородных электрическом и магнитном полях движение заряженной частицы происходит достаточно просто и может быть изучено элементарными методами. Движение заряженной частицы в однородном электрическом поле совершенно аналогично движению материальной точки в однородном поле тяжести. Оно происходит с постоянным по модулю и направлению Ускорением, равным произведению удельного заряда частицы qjm на напряженность поля Е. Траектория такого движения в общем случае представляет собой параболу. Именно так движутся электроны в пространстве между отклоняющими пластинами в электроннолучевой трубке осциллографа с электростатическим управлением. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле под действием силы Лоренца qvxB происходит следующим образом. В плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля, частица равномерно обращается по окружности. Радиус этой окружности пропорционален перпендикулярной магнитному полю составляющей скорости частицы, а частота обращения от скорости не зависит и равна произведению удельного заряда частицы на индукцию магнитного поля. Если при этом частица имеет еще и составляющую скорости вдоль магнитного поля, то на такое вращение накладывается равномерное движение вдоль поля, так что траектория результирующего движения представляет собой винтовую линию. Сила Лоренца, действующая перпендикулярно скорости частицы, не меняет модуль скорости и, следовательно, кинетическую энергию частицы. Интересно отметить, что при небольшом разбросе значений продольной составляющей скорости частиц движение в однородном магнитном поле обладает замечательным свойством фокусировки: выходящий из одной точки и направленный вдоль поля слегка расходящийся пучок заряженных частиц на некотором расстоянии вновь собирается в одну точку. Это свойство продольной фокусировки было использовано в 1922 г. Бушем для точного измерения удельного заряда электрона. Разберем опыт Буша подробно. Рассмотрим устройство, изображенное на рис. 12.1: электронно-лучевая трубка без управляющих пластин помещена внутрь соленоида, создающего однородное магнитное поле, направленное вдоль оси трубки. В отсутствие магнитного поля электроны летят прямолинейно и образуют на флуоресцирующем экране широкое светящееся пятно, регулируя силу тока в соленоиде и тем самым изменяя индукцию магнитного поля, можно добиться того, что электроны соберутся на экране в яркую светящуюся точку. Выясним причину фокусировки электронов. Из электронной пушки электроны вылетают с приблизительно одинаковыми по модулю скоростями, но с некоторым разбросом по направлению. Скорость электрона v можно определить с помощью закона сохранения энергии: ^ = (12.2) где е - абсолютная величина заряда электрона, a U- ускоряющее напряжение между катодом и ускоряющим анодом электронной пушки. На электрон, летящий вдоль магнитного поля, сила Лоренца не действует. Поэтому электрон, вылетевший из пушки вдоль оси трубки, движется прямолинейно и попадает в центр экрана. Если же электрон вылетел под некоторым углом ос к оси трубки и, следовательно, у него есть составляющая начальной скорости, перпендикулярная магнитному полю, то, как мы видели, траектория электрона представляет собой винтовую линию: его движение есть результат сложения равномерного движения вдоль оси трубки со"скоростью v ц = v cos а и равномерного обращения по окружности в плоскости, перпендикулярной оси трубки, со скоростью tfj^Dsina. Угловая скорость вращения электрона по окружности определяется с помощью второго закона Ньютона: ^=eBv±, (12.3) к где R - радиус окружности. Учитывая связь между линейной и угловой скоростями v± = (ocR, с помощью (12.3) найдем еВ сос = -. (12.4) т Замечательно, что угловая скорость и, следовательно, период обращения не зависят от скорости. Поэтому электроны, вылетевшие из пушки под разными углами, совершают полный оборот за одно и то же время. Поскольку электроны вылетают из пушки под малыми углами к оси трубки (cosa« 1), то все они движутся вдоль оси трубки практически с одной и той же скоростью v^v и за время одного оборота Г=2л/юс проходят вдоль оси трубки одно и то же расстояние L; L = -. (12.5) Это означает, что все винтовые линии, по которым движутся электроны, пересекают ось трубки практически в одной и той же точке, отстоящей на расстояние L от пушки. Такая же фокусировка происходит и после совершения электронами двух, трех и т. д. оборотов, т. е. на расстояниях 2L, 3L и т. д. от пушки. Если положение одной из этих точек совпадет с плоскостью экрана, то пятно на экране сожмется в яркую точку. Разумеется, расстояние от электронной пушки до экрана определяется конструкцией трубки и не изменяется во время опыта, но мы можем изменять шаг винтовой линии L, регулируя индукцию магнитного поля В или ускоряющее напряжение U. Подставляя скорость электронов v из (12.2) и угловую скорость вращения шс из (12.4) в формулу (12.5), получаем соотношение е 8я2 U (12.6) L В Если при неизменном ускоряющем напряжении U мы добьемся фокусировки пучка электронов, постепенно увеличивая индукцию магнитного поля В от нуля, то формула (12.6) может быть использована для вычисления отношения е/т. Для этого в правую часть нужно подставить значения U и В, при которых произошла фокусировка, а в качестве L взять расстояние от электронной пушки до экрана трубки. Если теперь продолжать увеличивать индукцию магнитного поля, то пятно на экране будет сначала расплываться, а затем снова сожмется в яркую точку. Ясно, что теперь электроны успевают совершить два полных оборота по винтовой линии до того, как попадают на экран. Для нахождения е/га в формулу (12.6) в качестве L в этом случае следует подставлять половину расстояния от пушки до экрана. Отметим, что достигнутая этим методом точность измерения удельного заряда электрона составляет величину порядка десятой доли процента. В настоящее время явление фокусировки пучка электронов продольным магнитным полем используется во многих электронно-оптических приборах. Перейдем теперь к рассмотрению движения заряженной частицы в постоянных однородных взаимно перпендикулярных (так называемых скрещенных) электрическом и магнитном полях. Будем считать, что в начальный момент частица покоится. На первый взгляд кажется, что движение частицы будет весьма замысловатым. В самом деле, на неподвижную частицу магнитное поле не действует, но, как только под действием электрического поля она приобретает некоторую скорость, так немедленно магнитное поле будет искривлять ее траекторию. Однако, несмотря на кажущуюся сложность, в данном случае удается полностью исследовать движение частицы с помощью,весьма простых рассуждений. Выберем систему координат таким образом, чтобы ось 7 была направлена вдоль вектора индукции магнитного поля В, а ось у - вдоль вектора напряженности электрического поля Е. Начало системы координат поместим в ту точку, где в начальный момент времени покоилась частица (рис. 12.2). Пусть для определенности заряд частицы q положителен. Прежде всего убедимся, что траектория представляет собой плоскую кривую. Первоначально покоившейся частице электрическое поле сообщает ускорение и, следовательно, скорость вдоль оси у. Поскольку сила, действующая на частицу со стороны магнитного поля, перпендикулярна как индукции поля, так и скорости частицы, то и эта сила также действует в плоскости ху. Другими словами, ускорение частицы, а следовательно, и скорость вдоль оси z равны нулю: частица никогда не сможет покинуть плоскость ху. Но и в плоскости ху первоначально покоившаяся положительно заряженная частица может двигаться только в верхней полуплоскости (у 5=0). В этом проще всего убедиться из энергетических соображений. В самом деле, постоянное магнитное поле, действуя перпендикулярно скорости, работы не совершает, а посто- \ янное электрическое поле потенциально. В рассматриваемом однородном электрическом поле потенциальная энергия заряженной частицы зависит только от координаты у, и наша частица, оказавшись ниже оси дс, имела бы полную энергию большую, чем в начальный момент. Самое большее - частица сможет только дойти до оси л:, но при этом скорость ее должна обратиться в нуль. Чтобы продвинуться дальше в выяснении вопроса о форме траектории, забудем на время о начальных условиях и задумаемся над таким вопросом: может: ли заряженная частица в скрещенных электрическом и магнитном полях двигаться с постоянной скоростью? Очевидно, что для этого полная сила, действующая на частицу, должна быть равна нулю, т. е. магнитная и электрическая силы должны быть равны по модулю и противоположны по направлению. Электрическая сила, действующая на положительно заряженную частицу, направлена вдоль оси у, следовательно, магнитная должна быть направлена в отрицательном направлении этой оси. Нетрудно убедиться, что для этого скорость частицы должна быть направлена вдоль оси х. Модуль скорости определяется из соотношения qE=qvB, (12.7). откуда » = (12-8) Поскольку скорость частицы не может превышать скорости света в вакууме с, то из формулы (12.8) видно, что движение заряженной частицы в "скрещенных полях с постоянной скоростью возможно только при Ея 7. Объясните возможность использования электродвигателя постоянного тока в качестве электрогенератора, основываясь на законе сохранения энергии. 8. Может ли заряженная частица в скрещенных электрическом и магнитном полях двигаться прямолинейно и равномерно?

влетает в плоский конденсатор под углом (= 30 град) к отрицательно заряженной пластине или под углом () к положительно заряженной пластине, на расстоянии = 9 мм., от отрицательно заряженной пластины.

Параметры частицы.

m - масса, q - заряд, - начальная скорость, - начальная энергия;

Параметры конденсатора.

D - расстояние между пластинами, - длина стороны квадратной пластины, Q - заряд пластины, U - разность потенциалов, C - электроемкость, W - энергия электрического поля конденсатора;

Построить зависимость:

зависимость скорости частицы от координаты “x”

а? (t) - зависимость тангенциального ускорения частицы от времени полета в конденсаторе,

Рис 1. Исходные параметры частицы.

Краткое теоретическое содержание

Вычисление параметров частицы

Всякий заряд изменяет свойства окружающего его пространства - создает в нем электрическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку электрический заряд оказывается под действием силы. Также частица обладает энергией.

Энергия частицы равна сумме кинетической и потенциальной энергий, т.е

Вычисление параметров конденсатора

Конденсатор - это уединенный проводник, состоящий из двух пластинок, разделенных слоем диэлектрика (в данной задаче диэлектриком является воздух,). Чтобы внешние тела не оказывали влияния на емкость конденсатора, обкладкам придают такую форму и так располагают друг относительно друга, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми на них зарядами, было сосредоточено внутри конденсатора. Поскольку поле заключено внутри конденсатора, линии электрического смещения начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой. Следовательно, сторонние заряды, возникающие на обкладках, имеют одинаковую величину и различны по знаку.

Основной характеристикой конденсатора является его емкость, под которой принимают величину, пропорциональную заряду Q и обратно пропорциональную разности потенциалов между обкладками:

Также величина емкости определяется геометрией конденсатора, а также диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками. Если площадь обкладки S, а заряд на ней Q, то напряжение, поря между обкладками равна

а так как U=Ed, то емкость плоского конденсатора равна:

Энергия заряженного конденсатора выражается через заряд Q, и разность потенциалов между обкладками, воспользовавшись соотношением можно написать еще два выражения для энергии заряженного конденсатора, соответственно пользуясь данными формулами мы можем найти и другие параметры конденсатора: например

Сила со стороны поля конденсатора

Определим значение силы, действующей на частицы. Зная, что на частицу действуют: сила F е (со стороны поля конденсатора) и Р (сила тяжести), можно записать следующее уравнение:

где, т.к F e = Eq, E=U/d

P = mg (g - ускорение свободного падения, g = 9,8м/с 2)

Обе эти силы действуют в направлении оси Y, а в направлении оси ОХ они не действуют, то

А=. (2-й закон Ньютона)

Основные расчётные формулы:

1. Емкость плоского конденсатора:

2. Энергия заряженного конденсатора:

3. Энергия частицы:

конденсатор ион заряженный частица

Конденсатор:

1) Расстояние между пластинами:

0,0110625 м = 11,06 мм.

2) Заряд пластины

3) Разность потенциалов

4) Сила со стороны поля конденсатора:

6,469*10 -14 Н

Сила тяжести:

P=mg=45,5504*10 -26 Н.

Значение очень мало, поэтому ей можно пренебречь.

Уравнения движения частицы:

ax=0; a y =F/m=1,084*10 -13 /46,48·10 -27 =0,23*10 13 м/c 2

1) Начальная скорость:

Зависимость V(x):

V x =V 0 cos? 0 =4?10 5 cos20 0 =3,76?10 5 м/c

V y (t)=a y t+V 0 sin ? 0 =0,23?10 13 t+4?10 5 sin20 0 =0,23?10 13 t+1,36?10 5 м/с

X(t)=V x t; t(x)=x/V x =x/3,76?10 5 с;

=((3,76*10 5) 2 +(1,37+

+(0,23 М10 13 /3,76?10 5)*х) 2) 1/2 = (3721*10 10 *х 2 +166*10 10 * х+14,14*10 10) 1/2

Найдем а(t):

Найдем предел t, т.к. 0

t max =1,465?10 -7 с

Найдем предел x, т.к. 0

l=0,5 м; x max

Графики зависимостей:

В результате расчетов мы получили зависимости V(x) и a(t):

V(x)= (3721*10 10 *х 2 +166*10 10 * х+14,14*10 10) 1/2

Используяe Excel, построим график зависимости V(x) и график зависимости a(t):

Вывод: В расчетно-графическом задании «Движение заряженной частицы в электрическом поле» рассматривалось движение иона 31 P + в однородном электрическом поле между обкладками заряженного конденсатора. Для его выполнения я ознакомился с устройством и основными характеристиками конденсатора, движением заряженной частицы в однородном магнитном поле, а также движением материальной точки по криволинейной траектории и рассчитал необходимые по заданию параметры частицы и конденсатора:

· D - расстояние между пластинами: d = 11,06 мм

· U - разность потенциалов; U = 4,472 кВ

· - начальная скорость; v 0 = 0,703·10 15 м/с

· Q - заряд пластины; Q = 0,894 мкКл;

Построенные графики отображают зависимости: V(x) - зависимость скорости частицы «V» от её координаты“x”, a(t)- зависимость тангенциального ускорения частицы от времени полета в конденсаторе, при этом учтено, что время полета конечно, т.к. ион заканчивает свое движение на отрицательно заряженной пластине конденсатора. Как видно из графиков эти не линейные они степенные.

Справочник