Рассмотрим изображение странного аттрактора системы Ресслера Его геометрическую конфигурацию можно наглядно представить следующим образом. Возьмем бумажную ленту, расширяющуюся к одному концу (а). На широком конце сложим ленту вдвое и затем склеим ее в кольцо так, как показано на рис. (б-г). Такая бумажная модель дает неплохое представление об аттракторе Ресслера и пространственном расположении принадлежащих ему траекторий. Она, однако, неточна в одной существенной детали. Решение СДУ Ресслера можно строить как вперед, так и назад во времени, и при этом справедлива теорема единственности. Следовательно, никакие две разные фазовые траектории не могут сойтись в одну, а значит, процедура склеивания незаконна.

Разрешение противоречия состоит в том, что «лента», из которой «склеен» аттрактор Ресслера, на самом деле представляет собой слоистое образование, набор листов. Процедура склеивания эквивалента установлению взаимно однозначного соответствия между множеством листов исходной ленты и множеством листов ленты, сложенной вдвое. Такое соответствие может иметь место только в том случае, если оба множества бесконечны. Таким образом, аттрактор Ресслера обязан иметь в сечении бесконечное множество слоев и представлять собой, следовательно, сложно устроенный, как говорят, фрактальный объект.

Такой же характер структуры свойственен и другим странным аттракторам. На рисунке приведена диаграмма из статьи Эно, иллюстрирующая структуру аттрактора в отображении (2). Можно отметить, что основной момент в мотивации этой работы как раз и состоял в намерении представить более наглядный для рассмотрения пример фрактальной структуры аттрактора, нежели демонстрировала известная к тому времени модель Лоренца. Воспроизведение фрактальной структуры аттрактора Эно на разных масштабах разрешения

Фракталы Под фракталами понимают множества, демонстрирующие на разных масштабах разрешения своей геометрической структуры свойства подобия (или масштабной инвариантности) в строгом или приближенном смысле, а также объекты в природе, обладающие этим свойством, хотя бы приближенно, в достаточно широком интервале масштабов. Понятие фрактала вошло в обиход благодаря математику Бенуа Мандельброту для обозначения нетривиальных геометрических объектов. Он обратил внимание на то, что фрактальные объекты могут рассматриваться не только как «математические монстры», но как модели геометрических свойств вполне реальных образований в природе (береговая линия, облака, горные массивы, деревья, вихри в турбулентной жидкости и т.д.). Классификация фракталов 1. Конструктивные (построенные с помощью определенных рекурсивных геометрических или алгебраических процедур). 2. Динамические (порождаемые динамическими системами). 3. Естественные (наблюдаемые в природе). 4. Стохастические (траектория движения броуновской частицы или произвольная траектория диффузионного случайного процесса).

Простейший конструктивный фрактал связан с построением, предложенным еще в 1883 г. основоположником теории множеств Георгом Кантором. Имея единичный отрезок, разделим его на три равные части и выбросим интервал, занимающий среднюю треть. Каждый из оставшихся отрезков вновь делим на три части и выбрасываем среднюю треть, и так далее до бесконечности. То, что останется в итоге, и есть множество Кантора или «канторова пыль». Множество Кантора удовлетворяет определению фрактала: каждый его фрагмент, полученный из какого-то отрезка на некотором уровне построения, подобен всему множеству и переходит в него при соответствующем пересчете масштаба. Отметим два свойства множества Кантора. 1) Это множество имеет нулевую меру (нулевую длину), т.е. суммарная длина всех выброшенных интервалов равна 1, длине исходного интервала. На 1-м шаге выбрасывается интервал длины 1/3, на 2- м – два интервала длины 1/9, на n-м – 2 n интервалов длины 3 -n+1. Вычисляя сумму, получаем

2) Множество Кантора имеет мощность континуума, т.е. допускает установление взаимно-однозначного соответствия с множеством всех точек единичного интервала в силу алгоритма его построения. Изменив правило деления единичного отрезка и введя деление на три неравные части, можно получить более сложное двух масштабное канторово множество (мультифрактал). Снежинка Коха – пример области с фрактальной границей. Начинаем построение с равностороннего треугольника. Затем на каждой стороне среднюю треть заменяем ломаной из двух отрезков той же длины. Повторяя процедуру многократно до бесконечности, приходим в итоге к фрактальному объекту. Первые 4 итерации 7 шагов построения снежинки Коха

Чтобы построить салфетку (треугольник) Серпинского, берем равносторонний треугольник, который можно представить как составленный из четырех меньших треугольников. Средний треугольник выбрасываем. Далее те же действия выполняем с каждым из оставшихся треугольников до бесконечности. Ковер Серпинского строится, исходя из квадрата, который делим вертикальными и горизонтальными линиями на 9 равных частей, и средний квадрат выбрасываем. С каждым оставшимся квадратом ту же процедуру, и так до бесконечности.

Фракталы, порождаемые детерминированной динамикой нелинейных систем, называются динамическими. Динамическими фракталами могут быть аттракторы или иные предельные множества в фазовом пространстве, размерность которого N для потоков должна быть N > 2, а для систем с дискретным временем N 2. Когда говорят о нерегулярных аттракторах, то разделяют понятия «странный» и «хаотический». Именно свойство «странности» относится к его нетривиальной (фрактальной) геометрии. Фрактальными свойствами обладают границы бассейнов притяжения нескольких сосуществующих аттракторов и это является характерной чертой нелинейных ДС. 2, "> 2, а для систем с дискретным временем N 2. Когда говорят о нерегулярных аттракторах, то разделяют понятия «странный» и «хаотический». Именно свойство «странности» относится к его нетривиальной (фрактальной) геометрии. Фрактальными свойствами обладают границы бассейнов притяжения нескольких сосуществующих аттракторов и это является характерной чертой нелинейных ДС."> 2, " title="Фракталы, порождаемые детерминированной динамикой нелинейных систем, называются динамическими. Динамическими фракталами могут быть аттракторы или иные предельные множества в фазовом пространстве, размерность которого N для потоков должна быть N > 2, "> title="Фракталы, порождаемые детерминированной динамикой нелинейных систем, называются динамическими. Динамическими фракталами могут быть аттракторы или иные предельные множества в фазовом пространстве, размерность которого N для потоков должна быть N > 2, ">

Много известных своей красотой динамических фракталов связано со следующим простым отображением Жюлиа: где Z – комплексная переменная, а C – комплексный параметр. Множество Жюлиа представляет собой пример фрактальной границы между бассейнами притяжения аттрактора на бесконечности (темно-бордовая область) и периодического движения (разноцветная область). Тон (цвет) определяется количеством итераций, которое требуется для достижения аттрактора.

Множество Мандельброта Данная фрактальная структура получается путем многократного применения алгебраического преобразования (рекуррентного соотношения) с использованием функции комплексного переменного. Черный цвет в середине показывает, что в этих точках функция стремится к нулю - это и есть множество Мандельброта. За пределами этого множества функция стремится к бесконечности. Cамое интересное - это границы множества. Они то и являются фрактальными. На границах этого множества функция ведет себя непредсказуемо - хаотично.

Размерности аттракторов Отличительная особенность странных аттракторов состоит в наличии свойства масштабной инвариантности (скейлинга), выражающегося в повторяемости их структуры на все более мелких масштабах. Следствием закономерностей подобия является универсальность в геометрии хаотических множеств сечений Пуанкаре, в распределении энергии колебаний по частотам и амплитудам в спектре и т.д. Для характеристики странных аттракторов введено понятие размерности. Размерность определяет количество информации, необходимое для задания координат точки, принадлежащей аттрактору, в рамках указанной точности. Для регулярных аттракторов, являющихся многообразиями, размерность – целое число: неподвижная точка имеет размерность 0, предельный цикл – 1, двумерный тор – 2. Ввиду сложности геометрической структуры странные аттракторы не являются многообразиями и имеют дробную размерность. Определения размерности в общем разделяются на два типа: зависящие только от метрических свойств аттрактора и, помимо метрики, зависящие от статистических свойств потока, обусловленных динамикой. В типичных случаях метрические размерности принимают одинаковую величину, которую принято называть фрактальной размерностью аттрактора D. Размерность, определяемую с учетом вероятности посещения траекторией различных областей аттрактора в фазовом пространстве, называют информационной или размерностью натуральной меры.

(29)

Применив определение (29) для вычисления размерности точки, линии и поверхности, можно убедиться в привычных значениях 0, 1 и 2 соответственно. Для нетривиальных множеств фрактальная размерность всегда дробная. Это свойства используется как характерный признак «странности» аттрактора. Фрактальную размерность, определенную с помощью покрытия множества ячейками фиксированной формы и размера, называют емкостью множества. Если в качестве покрытия множества используются элементы произвольной формы и размера, то вычисляемая таким образом размерность называется размерностью Хаусдорфа. Для фракталов эта размерность и емкость совпадают и говорят просто о фрактальной размерности объекта.

Информационная размерность Наряду с фрактальной размерностью вводят и используют ряд других, в том числе информационную, корреляционную, обобщенные размерности Реньи. Почему же одной метрической размерности недостаточно? Представим себе, что аттрактор неоднороден – одни области (элементы покрытия) посещаются чаще, другие реже. Это обстоятельство никак не отражено в определении емкости. Пусть для аттрактора определена инвариантная мера, и мы построили покрытие этого аттрактора, тогда как каждая ячейка покрытия будет иметь свою определенную величину меры. Иными словами, каждой i-й ячейке покрытия будет отвечать некоторая вероятность пребывания в ней p i. Считая, что ячейки полностью покрывают аттрактор и не накладываются друг на друга, имеем Рассмотрим теперь сумму (30) Эту величину можно интерпретировать как количество информации в утверждении, что изображающая точка обнаружена в одной определенной ячейке покрытия.

Ясно, что при уменьшении размера ячеек покрытия величина суммы (30) будет возрастать: чем мельче ячейки, тем больше информации в утверждении, что точка попала в данную определенную ячейку. Это нарастание следует закону (31) или, что эквивалентно, существует предел (32) Величину D I называют информационной размерностью.

Корреляционная размерность и алгоритм Грассбергера-Прокаччиа Рассмотрим снова покрытие аттрактора ячейками одинакового размера и предположим, что выбраны наугад две точки, принадлежащие аттрактору, x 1 и x 2. Какова вероятность того, что обе они окажутся в i-й ячейке? Вероятность того, что одна точка попадает в i-й элемент покрытия, равна p i. Если попадание обеих точек в данную ячейку можно считать независимыми событиями, то вероятность будет p i 2. Рассмотрим сумму (33) При уменьшении размера ячеек сумма будет убывать и происходить это будет по степенному закону (34) или, что эквивалентно, существует предел (35) Величину D C называют корреляционной размерностью.
Обобщенная размерность Можно обобщить размерности D F, D I, D C и ввести размерность порядка q, пользуясь обобщенной энтропией порядка q (энтропией Реньи) (37) где P i – вероятность обнаружения точки множества в i-м элементе покрытия. Тогда размерность порядка q есть (38) Можно показать, что D 0 = D F, D 1 = D I, D 2 = D C.

Ляпуновская размерность Фрактальную размерность аттрактора ДС в фазовом пространстве R N можно оценить с помощью спектра ляпуновских характеристических показателей (ЛХП). Такая оценка называется ляпуновской размерностью D L и задается определенным соотношением, называемым формулой Каплана-Йорке. Пусть известен спектр ЛХП странного аттрактора N-мерной системы, размерность которого нужно оценить: 1 2 … N. Сумма всех показателей спектра отрицательна в силу диссипативности системы. Рассмотрим первые k показателей спектра ЛХП, где k – наибольшее число, удовлетворяющее условию В указанное число показателей включены все положительные, все нулевые и некоторая часть отрицательных, чтобы сумма оставалась неотрицательной. Поскольку сумма показателей задает характер локального изменения элемента фазового объема в аттракторе, то фазовый объем размерности k

Таким образом, можно предположить, что размерность аттрактора заключена в интервале k D L k + 1. Разумно потребовать, чтобы движение на аттракторе подчинялось условию, отвечающему физическим представлениям о стационарности процесса, где d – дробная часть размерности. Полная ляпуновская размерность аттрактора будет суммой целой k и дробной d частей: (39) Различия в сигнатуре спектров ЛХП и размерность D L могут быть признаком классификации регулярных и странных аттракторов. Из формулы Каплана-Йорка (39) для регулярных аттракторов получаем следующие значения ляпуновской размерности, совпадающие с фрактальной размерностью соответствующего множества и равные числу нулевых показателей в спектре ЛХП: состояние равновесия (-, -, -, …) – D L = 0; предельный цикл (0, -, -, -, …) – D L = 1; двумерный тор (0, 0, -, -, …) – D L = 2; N-мерный тор (0, 0, 0, …,0, -, …) – D L = N.

Для регулярных аттракторов в полном соответствии находятся: ляпуновская размерность, фрактальная размерность и сигнатура спектра ЛХП аттрактора. В отношении странных аттракторов о подобном взаимодействии можно говорить лишь применительно к трехмерным дифференциальным системам и двумерным обратимым отображениям с постоянным растяжением и сжатием. Было доказано, что для аттракторов в таких системах фрактальная размерность может быть определена следующими соотношениями: - для двумерных отображений - для трехмерных дифференциальных систем В общем случае имеет место следующее соотношение между размерностями: Однако в пределах ошибок вычислений можно приближенно считать, что значения размерностей совпадают. При выборе, каким определением размерности лучше воспользоваться, обычно исходят из возможностей численных расчетов. При численном моделировании ДС наиболее удобно использовать размерность Ляпунова. Для оценки фрактальной размерности аттрактора по экспериментальным данным лучше всего подходит корреляционная размерность.

Всем привет!

Эта статья посвящается удивительным особенностям в мире хаоса. Я постараюсь рассказать о том, как обуздать такую странную и сложную вещь, как хаотический процесс и научиться создавать собственные простейшие генераторы хаоса. Вместе с вами мы пройдем путь от сухой теории до прекрасной визуализации хаотических процессов в пространстве. В частности, на примере известных хаотических аттракторов, я покажу как создавать динамические системы и использовать их в задачах, связанных с программируемыми логическими интегральными схемами (ПЛИС).

Введение

Теория хаоса – необычная и молодая наука, описывающая поведение нелинейных динамических систем. В процессе своего зарождения теория хаоса просто перевернула современную науку! Она будоражила умы учёных и заставляла их все больше и больше погружаться в исследования хаоса и его свойств. В отличие от шума, который является случайным процессом, хаос – детерминирован. То есть для хаоса существует закон изменения величин, входящих в уравнения описания хаотического процесса. Казалось бы, при таком определении хаос ничем не отличается от любых других колебаний, описываемых в виде функции. Но это не так. Хаотические системы очень чувствительны к начальным условиям, и малейшие их изменения могут привести к колоссальным различиям. Эти различия могут быть настолько сильными, что невозможно будет сказать, одна или несколько систем подвергались исследованию. Из научно-популярных источников лучше всего это свойство хаоса описывает процесс под названием "эффект бабочки ". Многие слышали о нем, и даже читали книги и смотрели фильмы, в которых использовался прием с использованием эффекта бабочки. В сущности, эффект бабочки отражает главное свойство хаоса.

Американский ученый Эдвард Лоренц, один из первопроходцев в области хаоса, сказал однажды:

Бабочка, взмахивающая крыльями в Айове, может вызвать лавину эффектов, которые могут достигнуть высшей точки в дождливый сезон в Индонезии.

Итак, окунемся в теорию хаоса и посмотрим, какими подручными средствами можно генерировать хаос.

Теория

Перед изложением основного материала, хотелось бы дать несколько определений, которые помогут понять и прояснить некоторые моменты в статье.

Динамическая система – это некоторое множество элементов, для которого задана функциональная зависимость между временной координатой и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы. Проще говоря, динамическая система – это такая система, у которой состояние в пространстве изменяется с течением времени.
Многие физические процессы в природе описываются системами уравнений, представляющими собой динамические системы. Например, это процессы горения, течения жидкости и газов, поведение магнитных полей и электрических колебаний, химические реакции, метеорологические явления, изменение популяций у растений и животных, турбулентности в морских течениях, движение планет и даже галактик. Как видите, многие физические явления можно в той или иной мере описать как хаотический процесс.

Фазовый портрет – это координатная плоскость, в которой каждая точка соответствует состоянию динамической системы в определенный момент времени. Иными словами, это пространственная модель системы (может быть двумерной, трехмерной и даже четырехмерной и более).

Аттрактор – некоторое множество фазового пространства динамической системы, для которого все траектории с течением времени притягиваются к этому множеству. Если совсем простым языком, то это некоторая область, в которой сосредоточено поведение системы в пространстве. Многие хаотические процессы представляют собой аттракторы, т. к. сосредоточены в определенной области пространства.

Реализация

В этой статье я хотел бы рассказать о четырех основных аттракторах – Лоренца, Ресслера, Рикитаке и Нозе-Гувера. Помимо теоретического описания в статье отражены аспекты по созданию динамических систем в среде MATLAB Simulink и дальнейшей их интеграции в FPGA фирмы Xilinx с помощью средства System Generator . Почему не VHDL/Verilog? Можно синтезировать аттракторы и с помощью RTL-языков, но для лучшей визуализации всех процессов MATLAB является идеальным вариантом. Я не буду затрагивать сложные моменты, связанные с расчетом спектра показателей Ляпунова или построения сечений Пуанкаре. И уж тем более никаких громоздких математических формул и выводов не будет. Итак, приступим.

Для создания генераторов хаоса нам потребуется следующий софт:

• MATLAB R2014 с лицензией на Simulink и DSP Toolbox.
• Xilinx ISE Design Suite 14.7 с лицензией на System-Generator (DSP Edition)

Эти программы достаточно тяжелые, поэтому наберитесь терпения при их установке. Установку лучше начать с MATLAB, а уже затем поставить софт Xilinx (при другой последовательности некоторым моим знакомым не удалось интегрировать одно приложение в другое). При установке последнего выскакивает окно, где можно связать Simulink и System Generator. Ничего сложного и необычного в установке нет, поэтому этот процесс опустим.

Аттрактор Лоренца

Аттрактор Лоренца – это, пожалуй, самая известная динамическая система в теории хаоса. Уже несколько десятков лет он привлекает большое внимание многих исследователей для описания тех или иных физических процессов. Первое упоминание аттрактора приводится в 1963 году в работах Э. Лоренца, который занимался моделированием атмосферных явлений. Аттрактор Лоренца – это трехмерная динамическая система нелинейных автономных дифференциальных уравнений первого порядка. Она имеет сложную топологическую структуру, асимптотически устойчива и устойчива по Ляпунову. Аттрактор Лоренца описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

В формуле точка над параметром означает взятие производной, которая отражает скорость изменения величины по параметру (физический смысл производной).

При значениях параметров σ = 10, r = 28 и b = 8/3 эта простая динамическая система была получена Э. Лоренцом. Он долго не мог понять, что происходит с его вычислительной машиной, пока наконец не осознал, что система проявляет хаотические свойства! Она была получена в ходе экспериментов для задачи о моделировании конвекции жидкости. Кроме того, эта динамическая система описывает поведение следующих физических процессов:

• – модель одномодового лазера,
• – конвекция в замкнутой петле и плоском слое,
• – вращение водяного колеса,
• – гармонический осциллятор с инерционной нелинейностью,
• – завихрения облачных масс и т.д.

На следующем рисунке приведена система аттрактора Лоренца в среде MATLAB:

На рисунке используется ряд следующих обозначений:

• вычитатели: SUB0-3 ;
• умножители на константу: SIGMA, B, R ;
• перемножители: MULT0-1 ;
• интеграторы с ячейкой задания начального условия: INTEGRATOR X,Y,Z ;
• выходные порты OUT: DATA X,Y,Z для сигналов XSIG, YSIG, ZSIG ;

Кроме того, на схеме представлены вспомогательные инструменты анализа, это:

• сохранение результатов вычисления в файл: To Workspace X,Y,Z ;
• построение пространственных графиков: Graph XY, YZ, XZ ;
• построение временных графиков: Scope XYZ ;
• средства для оценки занимаемых ресурсов кристалла и генерации HDL-кода из модели «Resource Estimator » и «System Generator ».

Внутри каждого узла математических операций необходимо указать разрядность промежуточных данных и их тип. К сожалению, в ПЛИС не так-то просто работать с плавающей точкой и в большинстве случаев все операции производятся в формате с фиксированной точкой. Неправильное задание параметров может привести к неверным результатам и огорчить вас при построении своих систем. Я экспериментировал с разными величинами, но остановился на следующем типе данных: 32-битный вектор знаковых чисел в формате с фиксированной точкой. 12 битов отводится на целую часть, 20 битов на дробную часть.

Установив в интеграторах X, Y, Z в блоке триггера начальное значение системы, например, {10, 0, 0} , я запустил модель. Во временной развертке можно наблюдать три следующих сигнала:


Даже если время моделирования устремить к бесконечности, то реализация во времени никогда не повторится. Хаотические процессы непериодичны.

В трехмерном пространстве аттрактор Лоренца выглядит следующим образом:

Видно, что аттрактор имеет две точки притяжения, вокруг которых происходит весь процесс. При незначительном изменении начальных условий процесс также будет сосредоточен вокруг этих точек, но его траектории будут существенно отличаться от предыдущего варианта.

Аттрактор Рёсслера

Второй по количеству упоминаний в научных статьях и публикациях аттрактор. Для аттрактора Рёсслера характерно наличие граничной точки проявления хаотических или периодических свойств. При определенных параметрах динамической системы колебания перестают быть периодическими, и возникают хаотические колебания. Одно из примечательных свойств аттрактора Рёсслера - фрактальная структура в фазовой плоскости, то есть явление самоподобия. Можно заметить, что и остальные аттракторы, как правило, обладают этим свойством.

Аттрактор Рёсслера наблюдается во многих системах. Например, он применяется для описания потоков жидкости, а также для описания поведения различных химических реакций и молекулярных процессов. Система Рёсслера описывается следующими дифференциальными уравнениями:

В среде MATLAB аттрактор строится следующим образом:

Временная реализация пространственных величин:

Трехмерная модель аттрактора Рёсслера:

Бац! Чуть-чуть изменились значения:

Аттрактор при слегка измененных начальных условиях (траектории отличаются!)

Аттрактор при иных коэффициентах в системе уравнений (хаотический процесс превратился в периодический!)

Сравните картинки трехмерных аттракторов при разных начальных условиях и коэффициентах в системе уравнений. Видите, как резко изменились траектории движения в первом случае? Но так или иначе они сосредоточены вблизи единой области притяжения. Во втором случае аттрактор вообще перестал подавать признаки хаоса, превратившись в замкнутую периодическую петлю (предельный цикл).

Аттрактор Рикитаке

Динамо Рикитаке – одна из известных динамических систем третьего порядка с хаотическим поведением. Представляет собой модель двухдискового динамо и впервые была предложена в задачах о хаотической инверсии геомагнитного поля Земли. Ученый Рикитаке исследовал систему динамо с двумя взаимосвязанными дисками построенную таким образом, что ток из одной катушки диска перетекал в другую и производил возбуждение второго диска, и наоборот. В определенный момент система начала сбоить и показывать непредсказуемые вещи. Активные исследования аттрактора позволили спроецировать динамо Рикитаке на модель связи больших вихрей магнитных полей в ядре Земли.

Динамо Рикитаке описывается следующей системой уравнений:

Модель динамо Рикитаке в MATLAB:

Временная реализация:

Аттрактор (первая версия):

Динамо (вторая версия)

Можно заметить, что динамо Рикитаке в чем-то похоже на аттрактор Лоренца, но это совершенно разные системы и описывают разные физические процессы!

Аттрактор Нозе-Гувера

Менее знаменитая, но не менее важная трехмерная динамическая система – термостат Нозе-Гувера . Используется в молекулярной теории как обратимая во времени термостатическая система. К сожалению, про этот аттрактор я знаю не так много, как про остальные, но мне он показался интересным и я включил его в обзор.

Термостат Нозе-Гувера описывается следующей системой уравнений:

Модель Нозе-Гувера в MATLAB:

Временная реализация:

В этой книге мы придерживались эмпирического подхода к хаотическим колебаниям и изложили целую серию различных физических явлений, в которых хаотическая динамика играет важную роль. Разумеется, не все читатели имеют доступ к лаборатории или обладают склонностью к экспериментированию, хотя большинство из них могут воспользоваться цифровыми компьютерами. Учитывая это, мы приводим в настоящем приложении ряд численных экспериментов, осуществимых либо на персональном компьютере, либо на микрокомпьютере, в надежде, что они помогут читателю исследовать динамику ставших ныне классическими моделей хаоса.

Б.1. ЛОГИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ: УДВОЕНИЕ ПЕРИОДА

Одной из простейших задач, с которой следовало бы начинать знакомство с новой динамикой, должно быть, является модель роста популяции, или логистическое уравнение

Явления, связанные с удвоением периода, наблюдались различными исследователями (см., например, работу Мэя ) и, разумеется, Фейгенбаумом , который открыл знаменитые законы подобия параметров (см. гл. 1 и 5). Персональный компьютер позволяет необычайно легко воспроизвести два численных эксперимента.

В первом эксперименте мы имеем график зависимости от в диапазоне . Режим удвоения периода наблюдается при значениях ниже Начав с вы сможете увидеть траекторию с периодом 1. Чтобы увидеть более длинные траектории, пометьте первые 30-50 итераций точками, а последующие итерации - другим символом.

Разумеется, построив график зависимости от , вы сможете наблюдать переходные и стационарные режимы. Хаотические траектории можно обнаружить при . В окрестности можно обнаружить траекторию с периодом 3 .

Следующий численный эксперимент связан с построением бифуркационной диаграммы. Для этого следует построить график зависимости при больших от управляющего параметра. Выберите какое-нибудь начальное условие (например, и проделайте 100 итераций отображения. Затем отложите значения полученные в результате следующих 50 итераций по вертикальной оси, а соответствующее значение по горизонтальной оси (или наоборот). Шаг по выберите около 0,01 и пройдите диапазон На диаграмме в точках удвоения периода должны получиться классические бифуркации типа вил. Можете ли вы по данным численного эксперимента определить число Фейгенбаума?

Мэй приводит также перечень численных экспериментов с другими одномерными отображениями, например с отображением

Он описывает это отображение как модель роста популяции одного вида, регулируемого эпидемической болезнью. Исследуйте область . Точка накопления удвоений периода и начало хаоса соответствуют . В статье Мэя содержатся также данные по некоторым другим численным экспериментам.

Б.2. УРАВНЕНИЯ ЛОРЕНЦА

Замечательный численный эксперимент, несомненно, заслуживающий повторения, содержится в оригинальной работе Лоренца . Лоренц упростил уравнения, выведенные Зальцманом на основе уравнений тепловой конвекции в жидкости (см. гл. 3). Приоритет в открытии непериодических решений уравнений конвекции, по признанию Лоренца, принадлежит Зальцману. Для исследования хаотических движений Лоренц выбрал ставшие ныне классическими значения параметров в уравнениях

Данные, приведенные на рис. 1 и 2 статьи Лоренца , можно воспроизвести, выбрав начальные условия и шаг по времени и спроектировав решение либо на плоскость либо на плоскость

Чтобы получить одномерное отображение, индуцируемое этим потоком, Лоренц рассмотрел последовательные максимумы переменной z, которые он обозначил График зависимости от показал, что в данном случае отображение задается кривой, напоминающей по форме крышу домика. Затем Лоренц исследовал упрощенный вариант этого отображения, получившего название «отображение типа домика», - билинейную разновидность логистического уравнения

Б.3. ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ И УРАВНЕНИЯ ЛОРЕНЦА

С наглядным примером перемежаемости можно познакомиться, численно интегрируя с помощью компьютера уравнения Лоренца:

с параметрами по методу Рунге-Кутта. При вы получите периодическую траекторию , но при и больше появятся «всплески», или хаотические шумы (см. работу Манневиля и Помо ). Измеряя среднее число N периодических циклов между всплесками (ламинарная фаза), вы должны получить закон подобия

Б.4. АТТРАКТОР ЭНОНА

Обобщение квадратичного отображения на прямой для двумерного случая (на плоскости) было предложено французским астрономом Эноном:

При отображение Энона сводится к логистическому отображению, исследованному Мэем и Фейгенбаумом. К значениям а и b, при которых возникает странный аттрактор, относятся, в частности, . Постройте график этого отображения на плоскости ограничив его прямоугольником . Получив аттрактор, сосредоточьте свое внимание на каком-нибудь малом его участке и увеличьте этот участок с помощью преобразования подобия. Проследите за существенно большим числом итераций отображений и попытайтесь выявить мелкомасштабную фрактальную структуру. Если у вас хватит терпения или у вас под рукой окажется быстродействующий компьютер, то произведите еще одно преобразование подобия и повторите все сначала для еще меньшего участка аттрактора (см. рис. 1.20, 1.22).

Если у вас имеется программа для вычисления показателей Ляпунова, то полезно иметь в виду, что в литературе приводится значение показателя Ляпунова , а фрактальная размерность аттрактора в отображении Энона равна . Варьируя параметры а и b, можно попытаться определить область тех значений, при которых аттрактор существует, и найти область удвоения периода на плоскости (а, b) .

Б.5. УРАВНЕНИЕ ДУФФИНГА: АТТРАКТОР УЭДЫ

Эта модель электрической цепи с нелинейной индуктивностью была рассмотрена в гл. 3. Уравнения этой модели, записанные в виде системы уравнений первого порядка, имеют вид

Хаотические колебания в этой модели были весьма подробно исследованы Уэдой . Воспользуйтесь каким-нибудь стандартным алгоритмом численного интегрирования, например схемой Рунге-Кутта четвертого порядка, и рассмотрите случай . При у вас должна получиться периодическая траектория с периодом 3. (Сечение Пуанкаре проводите при ) В окрестности значения траектория с периодом 3 должна после бифуркации переходить в хаотическое движение.

При периодичность снова восстанавливается с переходным хаотическим режимом (см. рис. 3.13).

Сравните фрактальную природу аттрактора при убывании затухания, полагая и 0,05. Обратите внимание, что при остается только небольшая часть аттрактора, а при движение становится периодическим.

Б.6. УРАВНЕНИЕ ДУФФИНГА С ДВУМЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМИ ЯМАМИ: АТТРАКТОР ХОЛМСА

Этот пример был рассмотрен в нашей книге. Несколько численных экспериментов заслуживают того, чтобы их повторить. Безразмерные уравнения имеют в этом случае вид

(Полагая и вводя дополнительное уравнение z = w, их можно записать в виде автономной системы третьего порядка.) Множитель 1/2 делает собственную частоту малых колебаний в каждой потенциальной яме равной единице. Критерий хаоса при фиксированном коэффициенте затухания и переменных был рассмотрен нами в гл. 5. Областью, представляющей интерес для исследования, является . В этой области должен наблюдаться переход от периодического режима к хаотическому, периодические окна в хаотическом режиме и выход из хаотического режима при . Имеется и другая интересная область: Во всех исследованиях мы настоятельно рекомендуем читателю пользоваться отображением Пуанкаре. При использовании персонального компьютера высокой скорости обработки информации можно достичь за счет специальных ухищрений при составлении программы (см. рис. 5.3).

Еще один интересный численный эксперимент состоит в том, чтобы зафиксировать параметры, например положить и варьировать фазу отображения Пуанкаре, т. е. наносить точки при изменяя от 0 до Обратите внимание на обращение отображения при Связано ли это с симметрией уравнения? (См. рис. 4.8.)

Б.7. КУБИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ (ХОЛМСА)

Многие понятия теории хаотических колебаний мы проиллюстрировали на примере аттрактора в модели с двумя потенциальными ямами. Динамика такой модели описывается обыкновенным нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка (см. гл.

2 и 3), но явная формула для отображения Пуанкаре такого аттрактора неизвестна. Холмс предложил двумерное кубическое отображение, которое обладает некоторыми свойствами осциллятора Дуффинга с отрицательной жесткостью:

Хаотический аттрактор может быть найден вблизи значений параметров

Б.8. ОТОБРАЖЕНИЕ ПРЫГАЮЩЕГО ШАРИКА (СТАНДАРТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ)

(См. статью Холмса и книгу Лихтенберга и Либермана .) Как отмечалось в гл. 3, отображение Пуанкаре для шарика» прыгающего на вибрирующем столе, может быть точно записано в терминах безразмерной скорости соударения шарика о стол и фазы движения стола

где - потеря энергии при соударении.

Случай (консервативный хаос). Этот случай исследован в книге Лихтенберга и Либермана как модель ускорения электронов в электромагнитных полях. Проитерировав отображение, нанесите полученные точки на плоскость Для вычисления воспользуйтесь выражением

в усовершенствованном варианте Бейсика. Чтобы добиться хорошей картины, вам придется варьировать начальные условия. Например, выберите и проследите за несколькими сотнями итераций отображения при различных v из интервала -

Интересные случаи вы обнаружите при . При можно наблюдать квазипериодические замкнутые траектории вокруг периодических неподвижных точек отображения. При должны появиться области консервативного хаоса вблизи точек сепаратрис (см. рис. 5.21).

Случай . Этот случай соответствует диссипативному отображению, когда энергия теряется при каждом соударении шарика и стола. Начните с . Обратите внимание на то, что, хотя первые итерации выглядят хаотическими, как в случае 1, движение выходит на периодический режим. Чтобы получить фракталоподобный хаос, значения К необходимо повысить до . Странный аттрактор, еще более напоминающий фрактал, вы получите, полагая .

Б.9. ОТОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ НА СЕБЯ: СИНХРОНИЗАЦИЯ ЧИСЛА ВРАЩЕНИЙ И ДЕРЕВЬЯ ФЭРИ

Точка, движущаяся по поверхности тора, может служить абстрактно-математической моделью динамики двух связанных осцилляторов. Амплитуды движения осцилляторов служат малым и большим радиусами тора и часто предполагаются фиксированными. Фазы осцилляторов соответствуют двум углам, задающим положение точки вдоль малой окружности (меридиана) и большой окружности (параллели) на поверхности тора. Сечение Пуанкаре вдоль малых окружностей тора порождает одномерное разностное уравнение, называемое отображением окружности на себя:

где - периодическая функция.

Каждая итерация этого отображения соответствует траектории одного осциллятора вдоль большой окружности тора. Популярным объектом исследования является так называемое стандартное отображение окружности (нормированное на )

Возможные движения, наблюдаемые при этом отображении, являются: периодические, квазипериодические и хаотические режимы. Чтобы увидеть периодические циклы, постройте точки на окружности с прямоугольными координатами

При параметр 0 есть не что иное, как число вращений - отношение двух частот несвязанных осцилляторов.

При отображение может быть периодическим и когда - иррациональное число. В этом случае говорят, что осцилляторы синхронизованы или что произошло затягивание мод. При можно наблюдать синхронизованные или периодические движения в областях конечной ширины вдоль оси О, которые, разумеется, содержат иррациональные значения параметра . Например, при цикл с периодом 2 может быть найден в интервале а цикл с периодом 3 - в интервале Чтобы найти эти интервалы при вычислите число вращений W как функцию параметра при 0 01. Число вращений мы вычислим, еслн отбросим действие сравнения по и перейдем к пределу

На практике, чтобы получить число вращений с достаточной точностью, нужно взять N > 500. Построив график зависимости W от , вы увидите серию плато, соответствующих областям синхронизации. Чтобы увидеть больше областей синхронизации, следует, выбрать малую область АП и построить W для большого числа точек в этой малой области.

Каждое плато синхронизации на графике ) соответствует рациональному числу - отношению циклов одного осциллятора к q циклам другого осциллятора. Отношения упорядочены в последовательность, известную под названием дерева Фэри. Если заданы две области синхронизации мод при значениях параметров , то между ними в интервале заведомо найдется еще одна область синхронизации с числом вращений

Начав с 0/1 при и 1/1 при можно построить всю бесконечную последовательность областей синхронизации. Большинство из них очень узкие.

Обратите внимание на то, что ширина этих областей стремится к нулю при и становится больше при Области синхронизации в плоскости () имеют форму длинных выступов, и иногда их называют языками Арнольда.

Б.10. АТТРАКТОР РЁССЛЕРА: ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ, ОДНОМЕРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ

Каждая из основных областей классической физики создала свою модель хаотической динамики: гидромеханика - уравнения Лоренца, строительная механика - аттрактор Дуффинга-Холмса с двумя потенциальными ямами, электротехника - аттрактор Дуффинга-Уэды. Еще одна простая модель возникла в динамике химических реакций, протекающих в некоторой емкости с перемешиванием. Предложил ее Рбсслер .

1

Статья посвящена применению метода аналитического конструирования агрегированных регуляторов для разработки законов управления типовыми нелинейными динамическими системами с хаотической динамикой, которые обеспечивают стабилизацию состояний равновесия в таких системах. В статье представлено решение одной из характерных задач антихаотического управления, а именно задачи подавления апериодических колебаний в таких системах. Разработаны синергетические законы управления хаотическими моделями Лоренца и Ресслера, которые обеспечивают стабилизацию фазовых переменных в этих моделях. Введение синтезированных обратных связей приводит к возникновению в системах состояния равновесия. Проведено компьютерное моделирование синтезированных замкнутых динамических систем, которое подтверждает теоретические положения синергетической теории управления. Синтезированные законы управления могут быть использованы в различных технических приложениях с целью повышения эффективности их функционирования.

модель Лоренца

модель Ресслера

динамическая система

управление

синергетика

обратная связь

автоколебания

1. Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е. Лекции по нелинейной динамике // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. – 2010. – Т. 18. – № 3. – С. 186–191.

2. Колесников А.А. Прикладная синергетика: основы системного синтеза. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2007. – 384 с.

3. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. – М.: Энергоатомиздат, 1994. – 344 с.

4. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. – М.: Эдиториал УРСС, 2002. – 255 c.

5. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. – М.: Наука, 1987. – 424 с.

6. Современная прикладная теория управления. Ч. II: Синергетический подход в теории управления / под. ред. А.А. Колесникова. – М.-Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. – 558 с.

7. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. – 1963. – № 20. – P. 130–133.

8. Rossler O.E. An equation for continuous chaos // Phys. Lett. A. – 1976. – Vol. 57А, № 5. – P. 397–398.

На сегодняшний день использование термина «хаос» в научных исследованиях связано с необходимостью описания таких систем, которые характеризуются совершенно случайной, на первый взгляд, динамикой и в то же время присутствием в них скрытого порядка.

Достаточно актуальная научная проблема управления хаотической динамикой не решена и в настоящее время. Из большого количества имеющихся аспектов ее решения в качестве чрезвычайно важного можно выделить исследование разнообразных методов и законов, подавляющих нерегулярные колебания в нелинейных системах, которые характеризуются наличием хаотической динамики .

Проблематика управления нелинейными системами с хаотической динамикой имеет важное прикладное значение. Стоит отметить, что дело здесь не только в борьбе с хаосом, который зачастую нарушает качество функционирования сложных систем, но и в целесообразной для ряда технологических процессов идее возникновения так называемого «порядка из хаоса» .

Проблема подавления нерегулярных колебаний относится к наиболее характерным проблемам управления моделями с хаотической динамикой и состоит в таком формировании управляющих воздействий, при котором обеспечивается стабилизация изначально хаотической модели в устойчивом стационарном состоянии. В дальнейшем полагается, что имеется возможность влияния на динамику модели с помощью некоторого внешнего управляющего воздействия, которое аддитивно входит в состав правой части одного из ее дифференциальных уравнений.

Цель исследования. В данной работе решена задача построения скалярных законов управления, которые обеспечивают подавление хаотических колебаний в типовых хаотических системах Лоренца и Ресслера, при которых происходит стабилизация нерегулярных колебаний исходных моделей в равновесном устойчивом состоянии. Задачи аналогичного типа возникают в случае необходимости устранить нежелательные вибрации конструкций, различные шумы и т.д. .

Материалы и методы исследования

Одним из методов эффективного решения сложной задачи управления хаосом и синтеза объективных законов управления нелинейными системами с хаотической динамикой является метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР), предложенный профессором А.А. Колесниковым .

Построение скалярных регуляторов методом аналитического конструирования агрегированных регуляторов основывается на введении последовательности инвариантных многообразий понижающейся геометрической размерности и последующей поэтапной динамической декомпозиции исходной динамической системы. В таком случае изображающая точка (ИТ) системы, начав двигаться из произвольного начального состояния, последовательно перемещается от одной поверхности притяжения к другой, пока не попадет на финишную поверхность вида ψ1 = 0 → ψ2 = 0 → ... → ψm = 0. «Внутренние» многообразия топологически вкладываются во «внешние». Таким образом, в синтезируемой системе возникает внутренний процесс самоуправления. В результате происходит каскадное формирование последовательности внутренних управлений, которые сжимают фазовый объем системы по направлению от внешней области фазового пространства к совокупности вкладываемых друг в друга внутренних областей вплоть до попадания ИТ в желаемое состояние системы.

Допустим, что в пространстве состояний замкнутой системы существует притягивающее инвариантное многообразие вида ψ(x) = 0, являющееся асимптотическим пределом фазовых траекторий. Вообще, подобных многообразий может быть несколько. Как правило, количество инвариантных многообразий совпадает с количеством каналов управления. Тогда изображающая точка системы начинает стремиться к пересечению инвариантных многообразий. Необходимым условием попадания изображающей точки замкнутой системы «объект-регулятор» на инвариантное многообразие ψ(x) = 0 является, чтобы ее движение удовлетворяло некоторому устойчивому дифференциальному уравнению, записанному относительно агрегированной макропеременной ψ(x). Такое уравнение в синергетической теории управления называют функциональным или эволюционным. Обычно система функциональных уравнений задается как система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида

S = 1, 2, ..., m, Ts > 0.

Здесь m - число заданных инвариантных многообразий; Ts - управляющий параметр, φ s (ψ s) - функция, которая должна удовлетворять следующей совокупности условий:

1) φ s (ψ s ) должна быть непрерывна, однозначна и дифференцируема при всех ψs;

2) φ s (0) = 0;

3) φ s (ψ s ) > 0 при любых 0,

т.е. они обращаются в нуль только на многообразиях φ s = 0, относительно которых система заданных функциональных уравнений асимптотически устойчива в целом.

Как правило, в методе АКАР используются функциональные уравнения:

т.е. φ s (ψ s ) = ψ s 0. Уравнения такого типа, как видно, характеризуются асимптотической устойчивостью относительно многообразия ψ s = 0 при условии Ts > 0.

В данной ситуации задача синтеза законов стабилизирующего управления хаотическими моделями в общем случае формулируется следующим образом. Необходимо найти функцию uS(x) как некоторую совокупность обратных связей, обеспечивающих перевод изображающей точки исходной хаотической модели из произвольных начальных условий в некоторой допустимой области в заданное состояние (совокупность состояний), которое соответствует устойчивому режиму . В самом простом случае управление входит только в одно дифференциальное уравнение исходной системы. Могут быть варианты, когда одно и то же управляющее воздействие находится в разных строках исходной системы .

Отличительным аспектом постановки задачи синергетического синтеза законов управления является наличие дополнительного требования к движению системы из начального состояния в конечное, которое состоит в асимптотическом притягивании фазовых траекторий системы к некоторому инвариантному многообразию (пересечению многообразий) в пространстве состояний (ПС) системы.

Введение в уравнения исходной модели стабилизирующей обратной связи приводит к целенаправленному изменению топологии ее пространства состояний. Вследствие подобной перестройки происходит исчезновение хаотического аттрактора и формирование регулярного аттрактора типа «точка», который соответствуют желаемому равновесному режиму поведения.

Результаты исследования и их обсуждение

Рассмотрим этапы реализованной процедуры синтеза стабилизирующего закона управления методом АКАР для хаотической системы Лоренца.

Модель Лоренца была первоначально получена из уравнений Навье - Стокса и теплопроводности с целью исследования возможности прогнозирования погодных условий при вариации управляющих параметров. Модель описывает движение конвективных валов в жидкости при температурном градиенте.

Модель представляет собой следующую систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений :

где σ - число Прандтля; ρ - нормированное число Рэлея; параметр b зависит от взаимоудаленности плоскостей и горизонтального периода.

Рис. 1. Хаотический аттрактор системы Лоренца

В этой системе при определенных условиях происходит формирование хаотических колебаний. На рис. 1 показана фазовая траектория системы при значениях параметров σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 в режиме детерминированного хаоса. В данной динамической системе впервые исследовались стохастические автоколебания. Хаотический аттрактор системы (1) принципиально отличается от хаотических аттракторов большинства моделей нелинейной динамики. Его структура полностью соответствует странному аттрактору и характеризуется наличием лишь седлового типа движения.

Предположим, что управляющее воздействие u1 входит в первое уравнение системы (1) в виде внутренней обратной связи:

Введем одно инвариантное многообразие вида

где μ - некоторый управляющий параметр.

Если продифференцировать функцию ψ1 (3) по времени и подставить ее производную в функциональное уравнение

мы получим искомый закон управления:

Закон управления (5) обеспечивает перевод изображающей точки системы (2), замкнутой обратной связью (5), на инвариантное многообразие ψ1 = 0.

Динамика движения изображающей точки модели по данному инвариантному многообразию описывается с помощью дифференциальных уравнений декомпозированной модели, которые образуются после подстановки выражения из равенства ψ1 = 0 (3) во второе и третье уравнения системы (2):

(6)

Рис. 2. Фазовые портреты систем (2), (5) и (6)

Рис. 2 иллюстрирует результаты проведенного численного моделирования системы (2), (5) при значениях управляющих параметров σ = 10, ρ = 24, b = 8/3, характерных для существования хаотического аттрактора Лоренца, и значениях параметров регулятора T1 = 0,1, μ = 4, которые подтверждают эффективность теоретических положений метода АКАР. Первое уравнение в декомпозированной системе (6) полностью идентично базовому эволюционному уравнению синергетики с бифуркацией типа «вилка».

Проведем построение стабилизирующего закона управления методом АКАР для модели Ресслера. Модель Ресслера - это нелинейная динамическая система дифференциальных уравнений третьего порядка вида :

где a, b, c - управляющие параметры.

Система (7) была предложена Ресслером для моделирования процессов взаимодействия ряда химических веществ. Данная система достаточно часто применяется в разнообразных научных исследованиях явлений разнообразной природы в связи с наличием характерных для них признаков появления и существования хаотической динамики. Рис. 3 демонстрирует хаотический аттрактор системы Ресслера при значениях параметров a = b = 0,2; c = 9.

Допустим, что управляющее воздействие входит во второе уравнение исходной системы (7):

Вид инвариантного многообразия

и функциональное уравнение (4) позволяют получить искомый закон управления:

(10)

Закон управления (10) гарантирует перевод изображающей точки управляемой системы (8), которая замкнута обратной связью (10), на инвариантное многообразие ψ2 = 0 (9).

Рис. 3. Хаотический аттрактор системы Ресслера

Характер движения системы вдоль инвариантного многообразия ψ2 = 0 описывает декомпозированная модель:

(11)

где уравнение бифуркации типа «вилка» присутствует в первой строке.

Рис. 4. Фазовые портреты систем (8), (10) и (11)

Рис. 4 иллюстрирует полученные результаты численного моделирования замкнутой системы (8), (10) для значений управляющих параметров модели a = b = 0,2; c = 9, которые характерны для возникновения аттрактора хаотического типа, а также значений параметров регулятора T2 = 0,1; μ = 25.

В обеих полученных декомпозированных моделях (6), (11) уравнения, расположенные в первой строке, совпадают с базовым эволюционным уравнением синергетики с бифуркацией типа «вилка». В связи с этим мы можем утверждать о естественном характере синтезированных законов стабилизирующего управления исходными хаотическими системами и о имеющемся единстве и внутренней взаимосвязи универсальных эволюционных уравнений нелинейной теории самоорганизации и синергетики.

Естественный характер синтезированных управляющих законов обусловлен, прежде всего, наличием у замкнутых систем совокупности типичных бифуркационных свойств.

В результате проведенного исследования синтезирована совокупность обратных связей, при замыкании которыми исходных хаотических систем возникает изменение характера их поведения и трансформация аттрактора хаотического типа в аттрактор типа «точка». Полученные законы управления u1 (5) и u2 (10) гарантированно обеспечивают асимптотическую устойчивость во всем фазовом пространстве относительно желаемых состояний равновесия при значениях параметра μ < 0 или μ > 0 для соответствующих исходных хаотических моделей. Полученные законы u1 (5) и u2 (10) принадлежат к классу объективных законов управления, преобразовывающих системы Лоренца и Ресслера, обладающие хаотической динамикой, в базовые эволюционные уравнения теории самоорганизации и синергетики.

Синтезированные законы управления u1 (5) и u2 (10) оригинальны и универсальны. Они могут применяться при проектировании управляемых систем разнообразного назначения, значительно повышая эффективность их функционирования.

Библиографическая ссылка

Кучерова В.Ю., Петьков В.Н., Артамонов П.А. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА АКАР ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СТАБИЛИЗАЦИИ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ ТИПОВЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ // Фундаментальные исследования. – 2016. – № 5-2. – С. 264-268;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40286 (дата обращения: 15.01.2020). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания» Валентность