Магнитное поле (см. § 109) оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, ис­пытываемый рамкой, есть результат дейст­вия сил на отдельные ее элементы. Обоб­щая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током, Ампер установил, что сила dF , с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находяще­гося в магнитном поле, прямо пропорцио­нальна силе тока I в проводнике и век­торному произведению элемента длиной dl проводника на магнитную индук­цию В:

dF = I . (111.1)

Направление вектора dF может быть найдено, согласно (111.1), по общим пра­вилам векторного произведения, откуда следует правило левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.

Модуль силы Ампера (см. (111.1)) вычисляется по формуле

dF = IB dl sin, (111.2)

где a - угол между векторами dl и В.

Закон Ампера применяется для опре­деления силы взаимодействия двух токов. Рассмотрим два бесконечных прямолиней­ных параллельных тока I 1 и I 2 (направле­ния токов указаны на рис. 167), расстоя­ние между которыми равно R . Каждый из проводников создает магнитное поле, ко­торое действует по закону Ампера на дру­гой проводник с током. Рассмотрим, с ка­кой силой действует магнитное поле тока I 1 на элемент dl второго проводника с то­ком I 2 . Ток I 1 создает вокруг себя магнит­ное поле, линии магнитной индукции кото­рого представляют собой концентрические окружности. Направление вектора b 1 за­дается правилом правого винта, его мо­дуль по формуле (110.5) равен

Направление силы dF 1 , с которой поле B 1 действует на участок dl второго тока, определяется по правилу левой руки и указано на рисунке. Модуль силы, со­гласно (111.2), с учетом того, что угол  между элементами тока I 2 и вектором B 1 прямой, равен

dF 1 =I 2 B 1 dl , или, подставляя значение для В 1 , получим

Рассуждая аналогично, можно пока­зать, что сила dF 2 , с которой магнитное поле тока I 2 действует на элемент dl пер­вого проводника с током I 1 , направлена в противоположную сторону и по модулю равна

Сравнение выражений (111.3) и (111.4) показывает, что

т. е. два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой

Если токи имеют противоположные на­правления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяе­мая формулой (111.5).

45. Закон Фарадея и его вывод из закона сохранения энергии

Обобщая результаты своих многочислен­ных опытов, Фарадей пришел к количе­ственному закону электромагнитной ин­дукции. Он показал, что всякий раз, когда происходит изменение сцепленного с кон­туром потока магнитной индукции, в контуре возникает индукционный ток; возник­новение индукционного тока указывает на наличие в цепи электродвижущей силы, называемой электродвижущей силой элек­тромагнитной индукции. Значение индук­ционного тока, а следовательно, и э. д. с, электромагнитной индукции ξ i определя­ются только скоростью изменения магнит­ного потока, т. е.

Теперь необходимо выяснить знак ξ i . В § 120 было показано, что знак магнитно­го потока зависит от выбора положитель­ной нормали к контуру. В свою очередь, положительное направление нормали свя­зано с током правилом правого винта (см. § 109). Следовательно, выбирая опре­деленное положительное направление нор­мали, мы определяем как знак потока маг­нитной индукции, так и направление тока и э.д.с. в контуре. Пользуясь этими пред­ставлениями и выводами, можно соответ­ственно прийти к формулировке закона электромагнитной индукции Фарадея: какова бы ни была причина изменения потока магнитной индукции, охватыва­емого замкнутым проводящим контуром, возникающая в контуре э.д.с.

Знак минус показывает, что увеличе­ние потока (dФ/dt>0) вызывает э.д.с.

ξξ i <0, т. е. поле индукционного тока на­правлено навстречу потоку; уменьшение

потока (dФ/dt<0) вызывает ξ i >0,

т. е. направления потока и поля индукци­онного тока совпадают. Знак минус в фор­муле (123.2) является математическим выражением правила Ленца - общего правила для нахождения направления ин­дукционного тока, выведенного в 1833 г.

Правило Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного по­тока, вызвавшего этот индукционный ток.

Закон Фарадея (см. (123.2)) может быть непосредственно получен из закона сохранения энергии, как это впервые сде­лал Г. Гельмгольц. Рассмотрим проводник с током I , который помещен в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоско­сти контура, и может свободно переме­щаться (см. рис. 177). Под действием си­лы Ампера F , направление которой пока­зано на рисунке, проводник перемещается на отрезок dx . Таким образом, сила Ампе­ра производит работу (см.(121.1)) dA =I dФ, где dФ - пересеченный проводни­ком магнитный поток.

Если полное сопротивление контура равно R , то, согласно закону сохранения энергии, работа источника тока за вре­мя dt (ξIdt ) будет складываться из рабо­ты на джоулеву теплоту (I 2 Rdt ) и работы по перемещению проводника в магнитном поле (I dФ):

где-dФ/dt=ξ i есть не что иное, как закон Фарадея (см. (123.2)).

Закон Фарадея можно сформулиро­вать еще таким образом: э.д.с. ξ i элек­тромагнитной индукции в контуре числен­но равна и противоположна по знаку ско­рости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим конту­ром. Этот закон является универсальным: э.д.с. ξ i не зависит от способа изменения магнитного потока.

Э.д.с. электромагнитной индукции выражается в вольтах. Действительно, учитывая, что единицей магнитного потока является вебер (Вб), получим

Какова природа э.д.с. электромагнит­ной индукции? Если проводник (подвиж­ная перемычка контура на рис. 177) движется в постоянном магнитном поле, то сила Лоренца, действующая на заряды внутри проводника, движущиеся вместе с проводником, будет направлена противо­положно току, т. е. она будет создавать в проводнике индукционный ток противо­положного направления (за направление электрического тока принимается движе­ние положительных зарядов). Таким обра­зом, возбуждение э.д.с. индукции при движении контура в постоянном магнит­ном поле объясняется действием силы Ло­ренца, возникающей при движении про­водника.

Согласно закону Фарадея, возникнове­ние э.д.с. электромагнитной индукции возможно и в случае неподвижного кон­тура, находящегося в переменном магнит­ном поле. Однако сила Лоренца на непод­вижные заряды не действует, поэтому в данном случае ею нельзя объяснить воз­никновение э.д.с. индукции. Максвелл для объяснения э.д.с. индукции в непод­вижных проводниках предположил, что всякое переменное магнитное поле воз­буждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в проводнике. Циркуляция векто­ра Е В этого поля по любому неподвижному контуру L проводника представляет собой э.д.с. электромагнитной индукции:

47. . Индуктивность контура. Самоиндукция

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное по­ле, индукция которого, по закону Био - Савара-Лапласа (см. (110.2)), пропор­циональна току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф поэтому пропорциона­лен току I в контуре:

Ф= LI , (126.1)

где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура.

При изменении силы тока в контуре будет изменяться также и сцепленный с ним магнитный поток; следовательно, в контуре будет индуцироваться э.д.с. Возникновение э.д.с. индукции в прово­дящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией.

Из выражения (126.1) определяется единица индуктивности генри (Гн): 1 Гн - индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1 А равен 1 Вб:

1 Гн=1 Вб/А=1В с/А.

Рассчитаем индуктивность бесконечно длинного соленоида. Согласно (120.4), полный магнитный поток через соленоид

(потокосцепление) равен 0(N 2 I / l )S . Под­ставив это выражение в формулу (126.1), получим

т. е. индуктивность соленоида зависит от числа витков соленоида N , его длины l , площади S и магнитной проницаемости  вещества, из которого изготовлен сердеч­ник соленоида.

Можно показать, что индуктивность контура в общем случае зависит только от геометрической формы контура, его разме­ров и магнитной проницаемости той среды, в которой он находится. В этом смысле индуктивность контура - аналог электри­ческой емкости уединенного проводника, которая также зависит только от формы проводника, его размеров и диэлектриче­ской проницаемости среды (см. §93).

Применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея (см. (123.2)), получим, что э.д.с. самоиндукции

Если контур не деформируется и магнит­ная проницаемость среды не изменяется (в дальнейшем будет показано, что по­следнее условие выполняется не всегда), то L =const и

где знак минус, обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие индуктив­ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем.

Если ток со временем возрастает, то

dI/dt>0 и ξ s <0, т. е. ток самоиндукции

направлен навстречу току, обусловленно­му внешним источником, и тормозит его возрастание. Если ток со временем убывает, то dI/dt<0 и ξ s > 0, т. е. индукционный

ток имеет такое же направление, как и убывающий ток в контуре, и замедляет его убывание. Таким образом, контур, об­ладая определенной индуктивностью, при­обретает электрическую инертность, за­ключающуюся в том, что любое изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура.

59. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

Введение Максвеллом понятия тока сме­щения привело его к завершению создан­ной им единой макроскопической теории электромагнитного поля, позволившей с единой точки зрения не только объяснить электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, существование кото­рых было впоследствии подтверждено.

В основе теории Максвелла лежат рас­смотренные выше четыре уравнения:

1. Электрическое поле (см. § 137) мо­жет быть как потенциальным (e q), так и вихревым (Е B), поэтому напряженность суммарного поля Е =Е Q +Е B . Так как циркуляция вектора e q равна нулю (см. (137.3)), а циркуляция вектора Е B оп­ределяется выражением (137.2), то цир­куляция вектора напряженности суммар­ного поля

Это уравнение показывает, что источни­ками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и меняю­щиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н (см. (138.4)):

Это уравнение показывает, что магнит­ные поля могут возбуждаться либо дви­жущимися зарядами (электрическими то­ками), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D :

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плот­ностью , то формула (139.1) запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля В (см. (120.3)):

Итак, полная система уравнений Максвел­ла в интегральной форме:

Величины, входящие в уравнения Мак­свелла, не являются независимыми и меж­ду ними существует следующая связь (изотропные не сегнетоэлектрические и не ферромагнитные среды):

D = 0 E ,

В=  0 Н,

j =E ,

где  0 и  0 - соответственно электриче­ская и магнитная постоянные,  и  - соответственно диэлектрическая и магнит­ная проницаемости,  - удельная прово­димость вещества.

Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля мо­гут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные по­ля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими заря­дами (электрическими токами), либо пере­менными электрическими полями. Уравне­ния Максвелла не симметричны относи­тельно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе су­ществуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

Для стационарных полей (Е= const и В =const) уравнения Максвелла при­мут вид

т. е. источниками электрического поля в данном случае являются только электри­ческие заряды, источниками магнитно­го - только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электриче­ское и магнитное поля.

Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса

можно представить полную систему урав­нений Максвелла в дифференциальной форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):

Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла - интегральная

и дифференциальная - эквивалентны. Однако когда имеются поверхности разры­ва - поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений являет­ся более общей.

Уравнения Максвелла в дифференци­альной форме предполагают, что все вели­чины в пространстве и времени изменяют­ся непрерывно. Чтобы достичь математи­ческой эквивалентности обеих форм урав­нений Максвелла, дифференциальную форму дополняют граничными условиями, которым должно удовлетворять электро­магнитное поле на границе раздела двух сред. Интегральная форма уравнений Максвелла содержит эти условия. Они были рассмотрены раньше (см. § 90, 134):

D 1 n = D 2 n , E 1  = E 2  , B 1 n = B 2 n , H 1  = H 2 

(первое и последнее уравнения отвечают случаям, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов прово­димости).

Уравнения Максвелла - наиболее об­щие уравнения для электрических и маг­нитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в ме­ханике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда свя­зано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнит­ным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом - они образуют единое электромагнитное поле.

Теория Максвелла, являясь обобщени­ем основных законов электрических и маг­нитных явлений, смогла объяснить не только уже известные экспериментальные факты, что также является важным ее следствием, но и предсказала новые явле­ния. Одним из важных выводов этой тео­рии явилось существование магнитного поля токов смещения (см. § 138), что по­зволило Максвеллу предсказать существо­вание электромагнитных волн - перемен­ного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью. В дальнейшем было доказано, что скорость распространения свободного электромагнитного поля (не связанного с зарядами и токами) в вакууме равна скорости света с = 3 10 8 м/с. Этот вывод и теоретическое исследование свойств электромагнитных волн привели Максвел­ла к созданию электромагнитной теории света, согласно которой свет представляет собой также электромагнитные волны. Электромагнитные волны на опыте были получены немецким физиком Г. Герцем (1857-1894), доказавшим, что законы их возбуждения и распространения полно­стью описываются уравнениями Максвел­ла. Таким образом, теория Максвелла была экспериментально подтверждена.

К электромагнитному полю применим только принцип относительности Эйнштей­на, так как факт распространения электро­магнитных волн в вакууме во всех системах отсчета с одинаковой скоростью с не совместим с принципом относительности Галилея.

Согласно принципу относительности Эйнштейна, механические, оптические и электромагнитные явления во всех инер­циальных системах отсчета протекают одинаково, т. е. описываются одинаковыми уравнениями. Уравнения Максвелла инва­риантны относительно преобразований Ло­ренца: их вид не меняется при переходе

от одной инерциальной системы отсчета к другой, хотя величины Е, В, D , Н в них преобразуются по определенным прави­лам.

Из принципа относительности вытека­ет, что отдельное рассмотрение электри­ческого и магнитного полей имеет относи­тельный смысл. Так, если электрическое поле создается системой неподвижных зарядов, то эти заряды, являясь непод­вижными относительно одной инерциаль­ной системы отсчета, движутся относи­тельно другой и, следовательно, будут порождать не только электрическое, но и магнитное поле. Аналогично, неподвиж­ный относительно одной инерциальной системы отсчета проводник с постоянным током, возбуждая в каждой точке про­странства постоянное магнитное поле, дви­жется относительно других инерциальных систем, и создаваемое им переменное маг­нитное поле возбуждает вихревое электри­ческое поле.

Таким образом, теория Максвелла, ее экспериментальное подтверждение, а так­же принцип относительности Эйнштейна приводят к единой теории электрических, магнитных и оптических явлений, базиру­ющейся на представлении об электромаг­нитном поле.

44. . Диа- и парамагнетизм

Всякое вещество является магнетиком, т. е. оно способно под действием магнитно­го поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Для понимания меха­низма этого явления необходимо рассмот­реть действие магнитного поля на движу­щиеся в атоме электроны.

Ради простоты предположим, что элек­трон в атоме движется по круговой орби­те. Если орбита электрона ориентирована относительно вектора В произвольным об­разом, составляя с ним угол а (рис. 188), то можно доказать, что она приходит в та­кое движение вокруг В, при котором век­тор магнитного момента р m , сохраняя по­стоянным угол а, вращается вокруг направления В с некоторой угловой скоро­стью. Такое движение в механике на­зывается прецессией. Прецессию вокруг вертикальной оси, проходящей через точку опоры, совершает, например, диск волчка при замедлении движения.

Таким образом, электронные орбиты атома под действием внешнего магнитного поля совершают прецессионное движе­ние, которое эквивалентно круговому то­ку. Так как этот микроток индуцирован внешним магнитным полем, то, согласно правилу Ленца, у атома появляется со­ставляющая магнитного поля, направлен­ная противоположно внешнему полю. На­веденные составляющие магнитных полей атомов (молекул) складываются и обра­зуют собственное магнитное поле вещест­ва, ослабляющее внешнее магнитное по­ле. Этот эффект получил название диа­магнитного эффекта, а вещества, на­магничивающиеся во внешнем магнитном поле против направления поля, называют­ся диамагнетиками.

В отсутствие внешнего магнитного по­ля диамагнетик немагнитен, поскольку в данном случае магнитные моменты элек­тронов взаимно компенсируются, и сум­марный магнитный момент атома (он ра­вен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых) составляющих атом электронов) равен нулю. К диамагнетикам относятся многие металлы (на­пример, Bi, Ag, Au, Cu), большинство органических соединений, смолы, углерод и т. д.

Так как диамагнитный эффект обус­ловлен действием внешнего магнитного поля на электроны атомов вещества, то диамагнетизм свойствен всем веществам. Однако наряду с диамагнитными ве­ществами существуют и парамагнитные - вещества, намагничивающиеся во внеш­нем магнитном поле по направлению поля.

У парамагнитных веществ при отсутст­вии внешнего магнитного поля магнитные моменты электронов не компенсируют друг друга, и атомы (молекулы) парамагнети­ков всегда обладают магнитным момен­том. Однако вследствие теплового движе­ния молекул их магнитные моменты ори­ентированы беспорядочно, поэтому парамагнитные вещества магнитными свой­ствами не обладают. При внесении пара­магнетика во внешнее магнитное поле устанавливается преимущественная ори­ентация магнитных моментов атомов по полю (полной ориентации препятствует тепловое движение атомов). Таким обра­зом, парамагнетик намагничивается, со­здавая собственное магнитное поле, со­впадающее по направлению с внешним полем и усиливающее его. Этот эффект называется парамагнитным. При ослабле­нии внешнего магнитного поля до нуля ориентация магнитных моментов вследст­вие теплового движения нарушается и па­рамагнетик размагничивается. К парамаг­нетикам относятся редкоземельные эле­менты, Pt, Al и т. д. Диамагнитный эффект наблюдается и в парамагнетиках, но он значительно слабее парамагнитного и по­этому остается незаметным.

Из рассмотрения явления парамагне­тизма следует, что его объяснение совпа­дает с объяснением ориентационной (дипольной) поляризации диэлектриков с по­лярными молекулами (см. §87), только электрический момент атомов в случае поляризации надо заменить магнитным моментом атомов в случае намагничения.

Подводя итог качественному рассмот­рению диа- и парамагнетизма, еще раз отметим, что атомы всех веществ являют­ся носителями диамагнитных свойств. Ес­ли магнитный момент атомов велик, то парамагнитные свойства преобладают над диамагнитными и вещество является па­рамагнетиком; если магнитный момент атомов мал, то преобладают диамагнит­ные свойства и вещество является диамагнетиком.

Ферромагнетики и их свойства

Помимо рассмотренных двух классов ве­ществ - диа- и парамагнетиков, называе­мых слабомагнитными веществами, су­ществуют еще сильномагнитные вещест­ва - ферромагнетики - вещества, обла­дающие спонтанной намагниченностью, т. е. они намагничены даже при отсутствии внешнего магнитного поля. К ферромагне­тикам кроме основного их представите­ля - железа (от него и идет название «ферромагнетизм») - относятся, напри­мер, кобальт, никель, гадолиний, их спла­вы и соединения.

Взаимодействие неподвижных зарядов описывается законом Кулона. Однако закон Кулона недостаточен для анализа взаимодействия движущихся зарядов. В опытах Ампера впервые появилось сообщение о том, что движущиеся заряды (токи) создают в пространстве некоторое поле, приводя к взаимодействию этих токов. Было установлено, что токи противоположных направлений отталкиваются, а одного направления – притягиваются. Поскольку оказалось, что поле тока, действует на магнитную стрелку точно так же, как и поле постоянного магнита, то это поле тока называли магнитным. Поле тока называется магнитным полем. Впоследствии было установлено, что у этих полей одна и та же природа.

Взаимодействие элементов тока .

Закон взаимодействия токов был открыт экспереметально задолго до создания теории относительности. Он значительно сложнее закона Кулона, описывающего взаимодействие неподвижных точечных зарядов. Этим и объясняется, что в его исследовании приняли участие многие ученые, а существенный вклад внесли Био (1774 — 1862), Савар (1791 — 1841), Ампер (1775 — 1836) и Лаплас(1749 — 1827).

В 1820 г. Х. К. Эрстед (1777 — 1851) открыл действие электрического тока на магнитную стрелку. В этом же году Био и Савар сформулировали закон для силы dF , с которой элемент тока I DL действует на магнитный полюс, удаленный на расстояние R от элемента тока:

DF I dL (16.1)

Где – угол, характеризующий взаимную ориентацию элемента тока и магнитного полюса. Функция вскоре была найдена экспериментально. Функция F (R ) Теоретически была выведена Лапласом в виде

F (R ) 1/r. (16.2)

Таким образом, усилиями Био, Савара и Лапласа была найдена формула, описывающая силу действия тока на магнитный полюс. В окончательном виде закон Био-Савара-Лапласа был сформулирован в 1826г. В виде формулы для силы, действующей на магнитный полюс, поскольку понятия напряженности поля еще не существовало.

В 1820г. Ампер открыл взаимодействие токов – притяжение или отталкивание параллельных токов. Им была доказана эквивалентность соленоида и постоянного магнита. Это позволило четко поставить задачу исследования: свести все магнитные взаимодействия к взаимодействию элементов тока и найти закон, играющий в магнетизме роль, аналогичную закону Кулона в электричестве. Ампер по своему образованию и склонностям был теоретиком и математиком. Тем не менее при исследовании взаимодействия элементов тока он выполнил очень скрупулезные экспериментальные работы, сконструировав ряд хитроумных устройств. Станок Ампера для демонстраци сил взаимодействия элементов тока. К сожалению, ни в публикациях, ни в его бумагах не осталось описания пути, каким он пришел к открытию. Однако формула Ампера для силы отличается от (16.2) наличием в правой части полного дифференциала. Это отличие несущественно при вычислении силы взаимодействия замкнутых токов, поскольку интеграл от полного дифференциала по замкнутому контуру равен нулю. Учитывая, что в экспериментах измеряется не сила взаимодействия элементов тока, а сила взаимодействия замкнутых токов, можно с полным основанием считать Ампера автором закона магнитного взаимодействия токов. Используемая в настоящее время формула для взаимодействия токов. Используемая в настоящее время формула для взаимодействия элементов тока была получена в 1844г. Грассманом (1809 — 1877).

Если ввести 2 элемента тока и , то сила, с которой элемент тока действует на элемент тока будет определяться следующей формулой:

, (16.2)

Точно также можно записать:

(16.3)

Легко видеть:

Так как векторы и имеют между собой угол не равный 180°, то очевидно , т. е. III-ий закон Ньютона для элементов тока не выполняется. Но если вычислить силу, с которой ток , текущий по замкнутому контуру , действует на ток , текущий по замкнутому контуру :

, (16.4)

А затем вычислить , то , т. е. для токов Ш-ий закон Ньютона выполняется.

Описание взаимодействия токов с помощью магнитного поля.

В полной аналогии с электростатикой взаимодействие элементов тока представляется двумя стадиями: элемент тока в месте нахождения элемента создает магнитное поле, которое действует на элемент с силой . Поэтому элемент тока создает в точке нахождения элемента тока магнитное поле с индукцией

. (16.5)

На элемент , находящийся в точке с магнитной индукцией , действует сила

(16.6)

Соотношение (16.5), которое описывает порождение магнитного поля током, называется законом Био-Савара. Проинтегрировав (16.5) получим:

(16.7)

Где — радиус-вектор, проведенный от элемента тока к точке, в которой вычисляется индукция .

Для объемных токов закон Био-Савара имеет вид:

, (16.8)

Где j – плотность тока.

Из опыта следует, что для индукции магнитного поля справедлив принцип суперпозиции, т. е.

Пример.

Дан прямой бесконечный ток J. Вычислим индукцию магнитного поля в точке М на расстоянии r от него.

= .

= = . (16.10)

Формула (16.10) определяет индукцию магнитного поля, созданного прямым током.

Направление вектора магнитной индукции Приведено на рисунках.

Сила Ампера и сила Лоренца.

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, называется силой Ампера. Фактически эта сила

Или , где

Перейдем к силе, действующей на проводник с током длиной L . Тогда = и .

Но ток можно представить как , где — средняя скорость, n – концентрация частиц, S – площадь поперечного сечения. Тогда

, где . (16.12)

Так как , . Тогда , где — сила Лоренца, т. е. сила, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле. В векторном виде

При сила Лоренца равна нулю, т. е. она не действует на заряд, который движется вдоль направления . При , т. е. сила Лоренца перпендикулярна скорости: .

Как известно из механики, если сила перпендикулярна скорости, то частицы движутся по окружности радиуса R, т. е. ,

Сила взаимодействия параллельных токов. Закон Ампера

Если взять два проводника с электрическими токами, то они будут притягиваться друг к другу, если токи в них направлены одинаково и отталкиваться, если токи текут в противоположных направлениях. Сила взаимодействия, которая приходится на единицу длины проводника, если они параллельны, может быть выражена как:

где $I_1{,I}_2$ -- токи, которые текут в проводниках, $b$- расстояние между проводниками, $в\ системе\ СИ\ {\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\frac{Гн}{м}\ (Генри\ на\ метр)$ магнитная постоянная.

Закон взаимодействия токов был установлен в 1820 г. Ампером. На основании закона Ампера устанавливают единицы силы тока в системах СИ и СГСМ. Так как ампер равен силе постоянного тока, который при течении по двум параллельным бесконечно длинным прямолинейным проводникам бесконечно малого кругового сечения, находящихся на расстоянии 1м друг от друга в вакууме вызывает силу взаимодействия этих проводников равную $2\cdot {10}^{-7}Н$ на каждый метр длины.

Закон Ампера для проводника произвольной формы

Если проводник с током находится в магнитном поле, то на каждый носитель тока действует сила равная:

где $\overrightarrow{v}$ -- скорость теплового движения зарядов, $\overrightarrow{u}$ -- скорость упорядоченного их движения. От заряда, это действие передается проводнику, по которому заряд перемещается. Значит, на проводник с током, который находится в магнитном, поле действует сила.

Выберем элемент проводника с током длины $dl$. Найдем силу ($\overrightarrow{dF}$) с которой действует магнитное поле на выделенный элемент. Усредним выражение (2) по носителям тока, которые находятся в элементе:

где $\overrightarrow{B}$ -- вектор магнитной индукции в точке размещения элемента $dl$. Если n -- концентрация носителей тока в единице объема, S -- площадь поперечного сечения провода в данном месте, тогда N -- число движущихся зарядов в элементе $dl$, равное:

Умножим (3) на количество носителей тока, получим:

Зная, что:

где $\overrightarrow{j}$- вектор плотности тока, а $Sdl=dV$, можно записать:

Из (7) следует, что сила, действующая на единицу объема проводника равна, плотность силы ($f$):

Формулу (7) можно записать в виде:

где $\overrightarrow{j}Sd\overrightarrow{l}=Id\overrightarrow{l}.$

Формула (9) закон Ампера для проводника произвольной формы. Модуль силы Ампера из (9) очевидно равен:

где $\alpha $ -- угол между векторами $\overrightarrow{dl}$ и $\overrightarrow{B}$. Сила Ампера направлена перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы $\overrightarrow{dl}$ и $\overrightarrow{B}$. Силу, которая действует на провод конечной длины можно найти из (10) путем интегрирования по длине проводника:

Силы, которые действуют на проводники с токами, называют силами Ампера.

Направление силы Ампера определяется правилом левой руки (Левую руку надо расположить так, чтобы линии поля входили в ладонь, четыре пальца были направлены по току, тогда отогнутый на 900 большой палец укажет направление силы Ампера).

Пример 1

Задание: Прямой проводник массой m длиной l подвешен горизонтально на двух легких нитях в однородном магнитном поле, вектор индукции этого поля имеет горизонтальное направление перпендикулярное проводнику (рис.1). Найдите силу тока и его направление, который разорвет одну из нитей подвеса. Индукция поля B. Каждая нить разорвется при нагрузке N.

Для решения задачи изобразим силы, которые действуют на проводник (рис.2). Будем считать проводник однородным, тогда можно считать, что точка приложения всех сил - середина проводника. Для того, чтобы сила Ампера была направлена вниз, ток должен течь в направлении из точки А в точку В (рис.2) (На рис.1 магнитное поле изображено, направленным на нас, перпендикулярно плоскости рисунка).

В таком случае уравнение равновесия сил, приложенных к проводнику с током запишем как:

\[\overrightarrow{mg}+\overrightarrow{F_A}+2\overrightarrow{N}=0\ \left(1.1\right),\]

где $\overrightarrow{mg}$ -- сила тяжести, $\overrightarrow{F_A}$ -- сила Ампера, $\overrightarrow{N}$ -- реакция нити (их две).

Спроектируем (1.1) на ось X, получим:

Модуль силы Ампера для прямого конечного проводника с током равен:

где $\alpha =0$ -- угол между векторами магнитной индукции и направлением течения тока.

Подставим (1.3) в (1.2) выразим силу тока, получим:

Ответ: $I=\frac{2N-mg}{Bl}.$ Из точки А и точку В.

Пример 2

Задание: По проводнику в виде половины кольца радиуса R течет постоянный ток силы I. Проводник находится в однородном магнитном поле, индукция которого равна B, поле перпендикулярно плоскости, в которой лежит проводник. Найдите силу Ампера. Провода, которые подводят ток вне поля.

Пусть проводник находится в плоскости рисунка (рис.3), тогда линии поля перпендикулярны плоскости рисунка (от нас). Выделим на полукольце бесконечно малый элемент тока dl.

На элемент тока действует сила Ампера равная:

\\ \left(2.1\right).\]

Направление силы определяется по правилу левой руки. Выберем координатные оси (рис.3). Тогда элемент силы можно записать через его проекции (${dF}_x,{dF}_y$) как:

где $\overrightarrow{i}$ и $\overrightarrow{j}$ -- единичные орты. Тогда силу, которая действует на проводник, найдем как интеграл по длине провода L:

\[\overrightarrow{F}=\int\limits_L{d\overrightarrow{F}=}\overrightarrow{i}\int\limits_L{dF_x}+\overrightarrow{j}\int\limits_L{{dF}_y}\left(2.3\right).\]

Из-за симметрии интеграл $\int\limits_L{dF_x}=0.$ Тогда

\[\overrightarrow{F}=\overrightarrow{j}\int\limits_L{{dF}_y}\left(2.4\right).\]

Рассмотрев рис.3 запишем, что:

\[{dF}_y=dFcos\alpha \left(2.5\right),\]

где по закону Ампера для элемента тока запишем, что

По условию $\overrightarrow{dl}\bot \overrightarrow{B}$. Выразим длину дуги dl через радиус R угол $\alpha $, получим:

\[{dF}_y=IBRd\alpha cos\alpha \ \left(2.8\right).\]

Проведем интегрирование (2.4) при $-\frac{\pi }{2}\le \alpha \le \frac{\pi }{2}\ $подставив (2.8), получим:

\[\overrightarrow{F}=\overrightarrow{j}\int\limits^{\frac{\pi }{2}}_{-\frac{\pi }{2}}{IBRcos\alpha d\alpha }=\overrightarrow{j}IBR\int\limits^{\frac{\pi }{2}}_{-\frac{\pi }{2}}{cos\alpha d\alpha }=2IBR\overrightarrow{j}.\]

Ответ: $\overrightarrow{F}=2IBR\overrightarrow{j}.$

Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия сил на отдельные ее элементы. Обобщая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током, Ампер установил, что сила d ,с которой магнитное поле действует на элемент проводника d с током, находящийся в магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длиной d проводника на магнитную индукцию :

Направление вектора d может быть найдено, согласно (3.3.1), по общим правилам векторного произведения, откуда следует правило левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор , а четыре вы­тянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.

Модуль силы Ампера вычисляется по формуле

где a -угол между векторами d и .

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных тока I 1 и I 2 (направления токов указаны на рис. 3.3.2), расстояние между которыми равно R.

Каждый из проводников создает магнит­ное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током. Рассмотрим, с какой силой действует магнитное поле тока I 1 на элемент dl второго проводника с током 1 2 .

Ток I 1 создает вокруг себя магнитное поле, линии магнитной индукции которого представляют собой концентрические окружности. Направление вектора задается правилом правого винта, его модуль по формуле (3.3.2) равен

Направление силы d 1 , с которой поле 1 действует на участок dl, второ­го тока, определяется по правилу левой руки и указано на рис 3.3.1. Модуль силы,
согласно (3.3.2), с учетом того, что угол, а между элементами тока 1 2 и вектором
1 прямой равен

или, подставляя значения для В 1 , получим

Рассуждая аналогично, можно показать, что сила dF 2 , с которой магнитное поле тока I 2 действует на элемент dl первого проводника с током I 1 , направле­на в противоположную сторону и по модулю равна

Сила Ампера это та сила, с которой магнитное поле действует на проводник, с током помещённый в это поле. Величину этой силы можно определить с помощью закона Ампера. В этом законе определяется бесконечно малая сила для бесконечно малого участка проводника. Что дает возможность применять этот закон для проводников различной формы.

Формула 1 — Закон Ампера

B индукция магнитного поля, в котором находится проводник с током

I сила тока в проводнике

dl бесконечно малый элемент длинны проводника с током

альфа угол между индукцией внешнего магнитного поля и направлением тока в проводнике

Направление силы Ампера находится по правилу левой руки. Формулировка этого правила, звучит так. Когда левая рука расположена таким образом, что лини магнитной индукции внешнего поля входят в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывают направление движения тока в проводнике, при этом отогнутый под прямым углом большой палец будет указывать направление силы, которая действует на элемент проводника.

Рисунок 1 — правило левой руки

Некоторые проблемы возникают, при использовании правила левой руки, в случае если угол между индукцией поля и током маленький. Трудно определить, где должна находиться открытая ладонь. Поэтому для простоты применения этого правила, можно ладонь располагать так, чтобы в нее входил не сам вектор магнитной индукции, а его модуль.

Из закона Ампера следует, что сила Ампера будет равна нулю, если угол между линией магнитной индукции поля и током будет равен нулю. То есть проводник будет располагаться вдоль такой линии. И сила Ампера будет иметь максимально возможное значение для этой системы, если угол будут составлять 90 градусов. То есть ток будет перпендикулярен линии магнитной индукции.

С помощью закона Ампера можно найти силу, действующую в системе из двух проводников. Представим себе два бесконечно длинных проводника, которые находятся на расстоянии друг от друга. По этим проводникам протекают токи. Силу, действующую со стороны поля создаваемого проводником с током номер один на проводник номер два можно представить в виде.

Формула 2 — Сила Ампера для двух параллельных проводников.

Сила, действующая со стороны проводника номер один на второй проводник, будет иметь такой же вид. При этом если токи в проводниках текут в одном направлении, то проводнику будут притягиваться. Если же в противоположных, то они будут отталкиваться. Возникает некоторое замешательство, ведь токи текут в одном направлении, так как же они могут притягиваться. Ведь одноименные полюса и заряды всегда отталкивались. Или Ампер решил, что не стоит подражать остальным и придумал что то новое.

На самом деле Ампер ничего не выдумывал, так как если задуматься то поля, создаваемые параллельными проводниками, направлены встречно друг другу. И почему они притягиваются, вопроса уже не возникает. Чтобы определить, в какую сторону направлено поле создаваемое проводником, можно воспользоваться правилом правого винта.

Рисунок 2 — Параллельные проводники с током

Используя параллельные проводники и выражение силы Ампера для них можно определить единицу в один Ампер. Если по бесконечно длинным параллельным проводникам, находящимся на расстоянии в один метр, текут одинаковые токи силой в одни ампер, то силы взаимодействия между ними будет составлять в 2*10-7 Ньютона, на каждый метр длинны. Используя эту зависимость, можно выразить чему будет равен один Ампер.

Данное видео рассказывает о том, как постоянное магнитное поле, созданное подковообразным магнитом, воздействует на проводник с током. Роль проводника с током в данном случае выполняет алюминиевый цилиндр. Этот цилиндр лежит на медных шинах, по которым к нему подводится электрический ток. Сила, воздействующая на проводник с током, находящемся в магнитном поле, называется силой Ампера. Направление действия силы Ампера определяется с помощью правила левой руки.

Строение атома