Министерство образования и науки Российской Федерации

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

города Новосибирска «Гимназия №4»

Секция: математика

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

по теме:

СВОЙСТВА ДВУХ КАСАЮЩИХСЯ ОКРУЖНОСТЕЙ

Учеников 10 класса:

Хазиахметова Радика Ильдаровича

Зубарева Евгения Владимировича

Руководитель:

Л.Л. Баринова

Учитель математики

Высшей квалификационной категории

§ 1.Введение………..………………………….…………………………………………………3

§ 1.1 Взаимное расположение двух окружностей………………………...…………...………3

§ 2 Свойства и их доказательства………………………………………..…………….....….…4

§ 2.1 Свойство 1………………...……………………………………..…………………...….…4

§ 2.2 Свойство 2……………………………………………………..…………………...………5

§ 2.3 Свойство 3……………………………………………………..…………………...………6

§ 2.4 Свойство 4……………………………………………………..…………………...………6

§ 2.5 Свойство 5…………………………………..……………………………………...………8

§ 2.6 Свойство 6………………………………………………..………………………...………9

§ 3 Задачи…………………………………………………..…………………...…...………..…11

Список литературы………………………………………………………………….………….13

§ 1.Введение

Многие задачи, включающие в себя две касающиеся окружности, можно решить более коротко и просто, зная некоторые свойства, которые будут представлены дальше.

Взаимное расположение двух окружностей

Для начала оговорим возможное взаимное расположение двух окружностей. Может быть 4 различных случая.

1.Окружности могут не пересекаться.

2.Пересекаться.

3. Касаться в одной точке снаружи.

4.Касаться в одной точке внутри.

§ 2. Свойства и их доказательства

Перейдем непосредственно к доказательству свойств.

§ 2.1 Свойство 1

Отрезки между точками пересечения касательных с окружностями равны между собой и равны двум средним геометрическим радиусов данных окружностей.

Доказательство 1. О 1 А 1 и О 2 В 1 – радиусы, проведённые в точки касания.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1 , О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1 .(по пункту 1)

1. ▲О 1 О 2 D – прямоугольный, т.к. О 2 D ┴ О 2 В 1
2. О 1 О 2 = R + r, О 2 D = R – r

1. По теореме Пифагора А 1 В 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

А 2 В 2 = 2√Rr (доказывается аналогично)

1)Проведем радиусы в точки пересечения касательных с окружностями.

2)Эти радиусы будут перпендикулярны касательным и параллельны друг другу.

3)Опустим перпендикуляр из центра меньшей окружности к радиусу большей окружности.

4)Гипотенуза полученного прямоугольного треугольника равна сумме радиусов окружностей. Катет равен их разности.

5)По теореме Пифагора получаем искомое соотношение.

§ 2.2 Свойство 2

Точки пересечения прямой, пересекающей точку касания окружностей и не лежащей ни в одной из них, с касательными делят пополам отрезки внешних касательных, ограниченные точками касания, на части, каждая из которых равна среднему геометрическому радиусов данных окружностей.

Доказательство 1.МС = МА 1 (как отрезки касательных)

2.МС = МВ 1 (как отрезки касательных)

3.А 1 М = МВ 1 = √Rr , А 2 N = NB 2 = √Rr (по пункту 1 и 2)

Утверждения, используемые в доказательстве Отрезки касательных, проведенных из одной точки к некоторой окружности равны. Используем это свойство для обеих данных окружностей.

§ 2.3 Свойство 3

Длина отрезка внутренней касательной, заключенного между внешними касательными, равна длине отрезка внешней касательной между точками касания и равна двум средним геометрическим радиусов данных окружностей.

Доказательство Этот вывод следует из предыдущего свойства.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Свойство 4

Треугольник, образованный центрами касающихся окружностей и серединой отрезка касательной между радиусами, проведенными в точки касания, прямоугольный. Отношение его катетов равно частному корней радиусов этих окружностей.

Доказательство 1.МО 1 – биссектриса угла А 1 МС, МО 2 – биссектриса угла В 1 МС, т.к. центр окружности, вписанной в угол лежит на биссектрисе этого угла.

2.По пункту 1 ÐО 1 МС + ÐСМО 2 = 0,5(ÐА1МС + ÐСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.ÐО 1 МО 2 – прямой. МС – высота треугольника O 1 МО 2 , т.к. касательная МN перпендикулярна радиусам, проведённым в точки касания → треугольники О 1 МС и МО 2 С – подобны.

4.О 1 М / МО 2 = О 1 С / МС = r / √Rr = √r / R (по подобию)

Утверждения, используемые в доказательстве 1)Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Катеты треугольника являются биссектрисами углов.

2)Пользуясь тем, что образованные таким образом углы равны, получаем, что искомый рассматриваемый нами угол прямой. Делаем вывод о том, что данный треугольник действительно прямоугольный.

3)Доказываем подобие треугольников, на которые высота (так как касательная перпендикулярна радиусам, проведенным в точки касания) делит прямоугольный треугольник, и по подобию получаем искомое отношение.

§ 2.5 Свойство 5

Треугольник, образованный точкой касания окружностей друг с другом и точками пересечения окружностей с касательной, прямоугольный. Отношение его катетов равно частному корней радиусов этих окружностей.

Доказательство

1. ▲А 1 МС и ▲СМВ 1 – равнобедренные → ÐМА 1 С = ÐМСА 1 = α, ÐМВ 1 С = ÐМСВ 1 = β.

1. 2α + 2β + ÐА 1 МС + ÐСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (ÐА 1 МС + ÐСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. Но ÐА 1 СВ 1 = α + β → ÐА 1 СВ 1 – прямой → ÐВ 1 СО 2 = ÐСВ 1 О 2 = p/2 – β = α

1. ▲А 1 МС и ▲СО 2 В 1 – подобны → А 1 С / СВ 1 = МС / О 2 В 1 = √Rr / R = √r / R

Утверждения, используемые в доказательстве 1)Расписываем сумму углов треугольников, пользуясь тем, что они равнобедренные. Равнобедренность треугольников доказывается при помощи свойства о равенстве отрезков касательных.

2)Расписав сумму углов таким образом, получаем, что в рассматриваемом треугольнике есть прямой угол, следовательно он прямоугольный. Первая часть утверждения доказана.

3)По подобию треугольников(при его обосновании пользуемся признаком подобия по двум углам) находим отношение катетов прямоугольного треугольника.

§ 2.6 Свойство 6

Четырехугольник, образованный точками пересечения окружностей с касательной, является трапецией, в которую можно вписать окружность.

Доказательство 1.▲А 1 РА 2 и ▲В 1 РВ 2 – равнобедренные т.к. А 1 Р = РА 2 и В 1 Р = РВ 2 как отрезки касательных → ▲А 1 РА 2 и ▲В 1 РВ 2 – подобные.

2.А 1 А 2 ║ В 1 В 2 , т.к. равны соответственные углы, образованные при пересечении секущей А 1 В 1.

1. MN – средняя линия по свойству 2 → А 1 А 2 + В 1 В 2 = 2MN = 4√Rr

1. А 1 В 1 + А 2 В 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = А 1 А 2 + В 1 В 2 → в трапеции А 2 А 1 В 1 В 2 сумма оснований равна сумме боковых сторон, а это является необходимым и достаточным условием существования вписанной окружности.

Утверждения, используемые в доказательстве 1)Вновь воспользуемся свойством отрезков касательных. С его помощью докажем равнобедренность треугольников, образованных точкой пересечения касательных и точками касания.

2)Из этого будет следовать подобие данных треугольников и параллельность их оснований. На этом основании делаем вывод о том, что этот четырехугольник является трапецией.

3)По доказанному нами ранее свойству(2) находим среднюю линию трапеции. Она равна двум средним геометрическим радиусов окружностей. В полученной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон, а это является необходимым и достаточным условием для существования вписанной окружности.

§ 3.Задачи

Рассмотрим на практическом примере, как можно упростить решение задачи, используя изложенные выше свойства.

Задача 1

В треугольнике АВС сторона АС=15 см. В треугольник вписана окружность. Вторая окружность касается первой и сторон АВ и ВС. На стороне АВ выбрана точка F, а на стороне ВС - точка М так, что отрезок FM является общей касательной к окружностям. Найдите отношение площадей треугольника BFM и четырехугольника АFМС, если FM - 4 см, а точка М отстоит от центра одной окружности на расстояние в два раза большее, чем от центра другой.

Дано: FM-общая касательная AC=15см FM=4см O 2 M=2О 1 M

Найти S BFM /S AFMC

Решение:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P и ▲BO 2 Q подобны → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP=4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM =r*Р FBM =1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5)S ABC =R*Р ABC =4*(61/3)=244/3 → S BFM /S AFMC =(16/3):(244/3)=4/61

Задача 2

В равнобедренный треугольник АВС вписаны две касающиеся окружности с их общей точкой Д и проходящей через эту точку общей касательной FK. Найти расстояние между центрами этих окружностей, если основание треугольника АС = 9 см, а отрезок боковой стороны треугольника заключенный между точками касания окружностей равен 4 см.

Дано: ABC – равнобедренный треугольник; FK – общая касательная вписанных окружностей. АС = 9 см; NE = 4 см

Решение:

Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке О. Тогда ОА = ОD, ОВ = ОС, поэтому CD = = AB = 2√Rr

Точки О 1 и О 2 лежат на биссектрисе угла AOD. Биссектриса равнобедренного треугольника AOD является его высотой, поэтому AD ┴ O 1 O 2 и BC ┴ O 1 O 2 , значит,

AD ║ BC и ABCD – равнобедренная трапеция.

Отрезок MN – ее средняя линия, поэтому AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Следовательно, в эту трапецию можно вписать окружность.

Пусть AP – высота трапеции, прямоугольные треугольники АРВ и О 1 FO 2 подобны, поэтому АР/О 1 F = АВ/О 1 О 2 .

Отсюда находим, что

Список литературы

• Приложение к газете «Первое сентября» «Математика» №43, 2003 год
• ЕГЭ 2010. Математика. Задача С4. Гордин Р.К.

При вычерчивании контуров предметов сравнительно часто приходится строить общие касательные к двум дугам окружностей. Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной.

Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусами R и r (рисунок 47). Из центра окружности большего радиуса – точкиO 1 описывают окружность радиусомR – r (рисунок 47, а). Находят середину отрезкаO 2 O 1 – точкуO 3 и из нее проводят вспомогательную окружность радиусомO 3 O 2 илиO 3 O 1. Обе проведенные окружности пересекаются в точкахA иВ . ТочкиO 1 иB соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиусомR определяют точку касанияD (рисунок 47, б). Из точкиO 2 параллельно прямойO 1 D проводят линию до пересечения с окружностью радиусомr и получают вторую точку касанияC . ПрямаяCD является искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямаяEF ).

Рисунок 47

Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r (рисунок 48). Из центра любой окружности, например: точкиO 1 , описывают окружность радиусомR +r (рисунок 48, а). Разделив отрезокO 2 O 1 пополам, получают точкуO 3 . Из точкиO 3 как из центра описывают вторую вспомогательную окружность радиусомO 3 O 2 = O 3 О 1 и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O 1 (рисунок 48, б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D . Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O 1 D , и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С . Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF .

Рисунок 48

3.3 Сопряжения с помощью дуги окружности

3.3.1 Сопряжение двух прямых дугой окружности

Все задачи на сопряжение дугой могут быть сведены к двум видам. Сопряжение осуществляется либо заданным радиусом сопрягающей дуги, либо через точку, заданную на одной из сопрягаемых линий. В том и другом случаях необходимо построить центр сопрягающей дуги.

Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданным радиусом R c (рисунок 49, а). Так как сопрягающая дуга должна касаться заданных прямых, то центр ее должен быть удален от каждой прямой на величину равную радиусуR c . Сопряжение строят так. Проводят две прямые, параллельные заданным и удаленные от них на величину радиусаR c и в пересечении этих прямых отмечают точкуO – центр сопрягающей дуги. Из точкиО опускают перпендикуляр на каждую из заданных прямых. Основания перпендикуляров – точкиA иB – являются точками касания сопрягающей дуги. Такое построение сопряжения справедливо для двух пересекающихся прямых, составляющих любой угол. Для сопряжения сторон прямого угла можно воспользоваться также способом, указанным на рисунке 49, б.

Рисунок 49

Сопряжение двух пересекающихся прямых, на одной из которых задана точка касания А сопрягающей дуги (рисунок 50). Известно, что геометрическим местом центров дуг, сопрягающих две пересекающиеся прямые, является биссектриса угла, образованного этими прямыми. Поэтому, построив биссектрису угла, из точки касанияA восстанавливают перпендикуляр к прямой до пересечения его с биссектрисой и отмечают точку O – центр сопрягающей дуги. Опустив из точки О перпендикуляр на другую прямую, получают вторую точку касания В и радиусом R c = OA = OB осуществляют сопряжение двух прямых, на одной из которых была задана точка касания.

Сопряжение двух параллельных прямых дугой, проходящей через заданную точку касания А (рисунок 51). Из точкиA восставляют перпендикуляр к заданным прямым и на пересечении его со второй прямой отмечают точкуB . ОтрезокAB делят пополам и получают точкуО – центр сопрягающей дуги радиусом.

Рисунок 50 Рисунок 51

Государственное бюджетное образовательное учреждение

Гимназия № 000

Проектная работа по геометрии.

Восемь способов построения касательной к окружности.

9 биолого-химический класс

Научный руководитель : ,

заместитель директора по учебной работе,

преподаватель математики.

Москва 2012

Вступление

Глава 1. ………………………………………………………………4

Вывод (заключение)

Вступление

Высшее проявление духа – это разум.

Высшее проявление разума – это геометрия.

Клетка геометрии – треугольник. Он так же

неисчерпаем, как и вселенная. Окружность – душа геометрии.

Познайте окружность, и вы не только познаете душу

геометрии, но и возвысите душу свою.

Клавдий Птолемей
Задача.

Построить касательную к окружности с центром О и радиусом R, проходящую через точку А, лежащую вне окружности

Глава 1.

Построения касательной к окружности, не требующие обоснования, опирающегося на теорию параллельных прямых.

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">АВО =90°. Для окружности (О; r) ОВ – радиус. ОВ АВ, следовательно, АВ – касательная по признаку касательной.

Аналогично, АС – касательная к окружности.

Построение № 1 основывается на факте, который гласит, что касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Для прямой имеется лишь одна точка касания с окружностью.

Через данную на прямой точку можно провести лишь одну перпендикулярную прямую.

Построение №2.

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> АВО = 90°

5. ОВ – радиус, АВО = 90°, следовательно, АВ – касательная по признаку.

6. Аналогично в равнобедренном треугольнике AON АС – касательная (АСО = 90°, ОС – радиус)

7. Итак, АВ и АС – касательные

Построение № 3

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">ОРМ =ОВА= 90° (как соответствующие углы в равных треугольниках), следовательно, АВ – касательная по признаку касательной.

4. Аналогично, АС – касательная

Построение №4

https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="left" width="330" height="743 src=">

Построение № 6.

Построение:

2. Проведу через точку А произвольную прямую, пересекающую окружность(О, r) в точках М и N.

6. АВ и ВС – искомые касательные.

Доказательство :

1. Т. к. треугольники PQN и PQM вписаны в окружность и сторона PQ является диаметром окружности, то эти треугольники прямоугольные.

2. В треугольнике PQL отрезки PM и QN – высоты, пересекающиеся в точке К, поэтому KL – третья высота..gif" width="17" height="16 src=">.gif" width="17" height="16 src=">AQS =AMS = 180° - https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, то |AQ| = |AS|ctg β. Поэтому |PA| : |AQ| = ctg α: ctg β (2).

5. Сопоставляя (1) и (2) получу |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, или

(|OD| + R)(|OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R).

После раскрытия скобок и упрощений нахожу, что |OD|·|OA|=R².

5. Из соотношения |OD|·|OA|=R² следует, что |OD|:R=R: |OA|, то есть треугольники ODB и OBA подобны..gif" width="17" height="16">OBA=90°.Следовательно, прямая АВ – искомая касательная, что и требовалось доказать.

Построение № 6.

Построение:

1. Прострою окружность (A; |OA|).

2. Найду раствор циркуля, равный 2R, для чего выберу на окружности (О; R) точку S и отложу три дуги, содержащие по 60º: SP=PQ=QT=60°. Точки S и T диаметрально противоположны.

3. Строю окружность (О; ST), пересекающую w 1Что это за окружность? в точках М и N.

4. Теперь построю середину МО. Для этого строю окружности (O; OM) и (М; МО), а затем для точек М и О находим на них диаметрально противоположные точки U и V.

6. Наконец, построю окружность (К; КМ) и (L; LM), пересекающиеся в искомой точке В – середине МО.

Доказательство:

Треугольники КМВ и UMK равнобедренные и подобные. Поэтому из того, что КМ= 0,5МU, следует, что МВ=0,5МК=0,5R. Итак, точка В – искомая точка касания. Аналогично можно найти точку касания С.

Глава 3.

Построения касательной к окружности, основанные на свойствах секущих, биссектрис.

Построение № 7

https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="left" width="440" height="514 src=">Построение № 8

Построение:

1. Построю окружность (А;АР), пресекающую прямую АР в точке D.

2. Построю окружность w на диаметре QD

3. Пересеку ее перпендикуляром к прямой АР в точке А и получу точки М и N.

Доказательство:

Очевидно, что АМ²=АN²=АD·AQ=AP·AQ. Тогда окружность (А;АМ) пересекает (О;R) в точках касания В и С. АВ и АС - искомые касательные.

Прямая, касательная к окружности, составляет с радиусом, проведенным в точку касания, угол 90  . Таким образом, для построения прямой, касающейся окружности в заданной точке, необходимо провести искомую прямую перпендикулярно к радиусу.

Рассмотрим некоторые примеры построения касательных и сопряжений.

П р и м е р 1

Через точку А провести прямую, касательную к окружности с центром О 1

Для решения поставленной задачи выполним следующие построения:

1) соединим прямой линией точки О 1 и А;

2) из точки О 2 – середины отрезка О 1 А − проведем вспомогательную окружность радиусом О 2 А до пересечения с заданной окружностью в точке В.

Последняя является точкой касания, так как угол АВО 1 равен 90  (он опирается

на диаметр АО 1), следовательно, радиус О 1 В является общей нормалью к прямой и дуге окружности в точке В.

П р и м е р 2

Построить общую касательную к двум окружностям с радиусами R 1 и R 2 (рис. 3.4).

Для решения задачи выполним следующие построения:

1) из центра О 1 большой окружности проведем вспомогательную окружность радиусом, равным разности R 1 и R 2 , т. е. R 1 – R 2 ;

2) к этой окружности из точки О 2 проведем касательную О 2 К так, как это выполняли в примере 1;

3) продолжим прямую О 1 К до пересечения с заданной большой окруж­ностью, получим точку В, которая и является точкой касания. Из точки О 2 проведем прямую параллельно О 1 В до пересечения прямой с окружностью в точке А, которая является второй точкой касания касательной АВ.

Рис. 3.3. Построение касатель-

ной прямой к окружности

Рис. 3.4. Построение касательной

к двум окружностям

3.3. Сопряжение двух прямых

П р и м е р 3

Построить сопряжение двух пересекающихся прямых m и n радиусом

сопряжения R c (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Построение сопряжения двух пересекающихся прямых

опустим перпендикуляры на заданные прямые и получим точки сопряжения А и В; из точки О радиусом R с проведем дугу сопряжения между точками А и B.

3.4. Сопряжение прямой с окружностью (внутреннее и внешнее)

П р и м е р 4

Построить внешнее и внутреннее сопряжения окружности радиусом R c

с центром О 1 с прямой t дугой заданного радиуса сопряжения.

Д

Рис. 3.6. Построение внешнего

сопряжения окружности и прямой

Рис. 3.7. Построение внутреннего сопряжения окружности и прямой

ля построения внешнего сопряжения выполним следующие действия

1) проведем прямую m параллельно прямой t на расстоянии R с и вспомогательную окружность из центра О 1 радиусом (R 1 + R c); точка пересечения прямой m и вспомогательной окружности – точка О – является центром дуги сопряжения; 2) соединим центры О 1 и О прямой, пересечение ее с заданной окружностью даст первую точку сопряжения − точку А; 3) опустим перпендикуляр из точки О на заданную прямую t и получим вторую точку сопряже­ния – точку В; 4) из точки О проводим дугу сопряжения АВ радиусом R с. Построение внутреннего со- пряжения окружности с прямой (рис. 3.7) выполняется аналогично построению внешнего сопряжения. Разница заключается в том, что ра- диус вспомогательной окружности равен не сумме радиусов, а их раз- ности (R 1 – R с).

Физика