Все мы слышали про параллельные прямые. Сначала нас учат, что они никогда не пересекаются, а потом где-то на факультативах в районе старших классов тихо добавляют, что из этого правила бывают исключения. Например, в геометрии, придуманной нашим соотечественником Николаем Лобачевским. Так ли это на самом деле, как вообще это возможно и при чем здесь Эйнштейн - разобрались вместе с редакцией научно-популярного портала "Чердак" .

Что не так с пятым постулатом

Более 2300 лет назад древнегреческий математик Евклид собрал все имевшиеся до него знания о геометрии в одну большую книгу - "Начала". Именно в ней содержались знаменитые пять постулатов - недоказуемые утверждения, на фундаменте которых возводились все дальнейшие рассуждения и теоремы.

Первые четыре постулата были лаконичны и стройны. В их истинности, наверное, никто не сомневался за всю историю мира, но пятый постулат звучал гораздо более запутанно и мало напоминал неоспоримую истину.

Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых

пятый постулат геометрии Евклида

Это утверждение в разных формулировках (самая распространенная из них гласит, что в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной) пытались доказать десятки математиков, но все они втягивались в одну и ту же историю. Их доказательства упирались в утверждения, доказать которые без самого пятого постулата было абсолютно невозможно.

Лобачевского пятый постулат смущал не столько своей неаккуратностью, сколько философской нагрузкой: он поселял материю в какое-то застывшее абсолютное пространство. Твердый материалист, он не мог принимать исключительно на веру, что параллельные прямые не пересекаются где-нибудь в бесконечности космоса. Ученый обратился к доказательству от противного. Он попробовал заменить пятый постулат на его зеркальное отражение ("Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие ее"). Лобачевский ждал, не появится ли во всей системе геометрических теорем внутренних противоречий, косвенно указывающих на то, что изначальная версия пятого постулата - была все-таки неизбежно верна в нашем пространстве? Но такого не случилось - противоречий не нашлось.

7 февраля 1826 года (по старому стилю) Лобачевский представил перед ученой комиссией Казанского университета свой труд - "Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных".

Геометрия новая - проблемы старые

Незадолго до выступления новый император Николай I сместил Михаила Магницкого с должности попечителя Казанского университета, и все члены комиссии думали, как это повлияет на их жизнь, и почти не обращали внимания на странноватого математика, рассказывавшего на французском о какой-то инопланетной геометрии. Дальше рукопись была отдана на рецензию некоторым членам комиссии, но они, видимо, просто позабыли о ней, и сам доклад так и не был одобрен к публикации. Тогда вся геометрия Лобачевского могла навсегда остаться внутри его головы, если бы не одна неожиданность: новым ректором университета вскоре был избран именно он. Вряд ли у Лобачевского стало после этого меньше работы и больше сил, но постепенно он оформил свои идеи в законченный труд "О началах геометрии", который сначала напечатали в журнале "Казанский вестник", а потом представили на отзыв в Академию наук, где рецензия досталась одному из самых сильных русских математиков того времени - Михаилу Остроградскому.

Михаил Остроградский

академик Санкт-Петербургской академии наук

Новая геометрия остается непонятной. Блуждание продолжается.

Позже Лобачевский публиковал свои труды в европейских журналах, где их заметил великий немец Гаусс, который сам не один год втайне ото всех занимался неевклидовой геометрией. Чтобы лучше понять казанского ученого, он оперативно выучил русский и потом, впечатленный смелостью и ясностью мыслей Лобачевского, выдвинул того в члены-корреспонденты Геттингенского королевского научного общества. Признание встречает своего гения, хотя на родине Остроградский и люди его окружения раз за разом отклоняют все работы по неевклидой геометрии вплоть до самой смерти Лобачевского в 1856 году.

Отложенное признание

Проходит 12-15 лет, и математики находят сразу несколько реальных моделей, в которых работает именно геометрия Лобачевского. В самой простой из них, проективной, за плоскость принимают внутренность круга, а за прямую - его хорду. В результате тот факт, что через одну точку, лежащую внутри круга, можно провести сколько угодно хорд, не пересекающихся с одной фиксированной хордой, автоматически становится иллюстрацией пятого начала геометрии Лобачевского.

В 1868 году выходит доклад Римана - другого первопроходца с другой неевклидовой геометрией, в которой через каждую точку в пространстве уже невозможно провести ни одной параллельной прямой, и математикам постепенно становится понятно, что геометрии Римана и Лобачевского - невероятно похожие шаги влево и вправо от привычной евклидовой геометрии. Первая работает на поверхностях с положительной кривизной - вроде шаров, а вторая - на поверхностях с отрицательной кривизной - вроде гиперболоидов или седел.

Еще чуть позже, в начале XX века, новая геометрия наконец встретится с физикой. Эйнштейн сформулирует свою общую теорию относительности в терминах геометрии Римана, и мысли людей, привыкшие ходить по одним и тем же параллельным рельсам, откроют новые маршруты: пространство и время не абсолютны. Движение меняет геометрию. А тысячелетние аксиомы не всегда верны.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Год 1819-й, знаменитый французский математики Лаплас мечтает для контакта с инопланетянами установить посреди Сибири огромную светящуюся фигуру, символизирующую теорему Пифагора, а в Казанский университет прибывает новый попечитель - Михаил Магницкий. Он уличает профессоров и преподавателей в вольнодумстве и безбожии и предлагает Александру I торжественно снести здание, приютившее порок.

Император отказывается, университет перезапускают, и новым ректором становится Григорий Никольский - 35-летний, карьеристкого склада математик, любивший обращаться к студентам словами «государики» и повторявший им, что «гипотенуза в прямоугольном треугольнике есть символ сретения правды и мира, правосудия и любви через ходатая бога и человека…» Примерно тогда же в голове 28-летнего Лобачевского, всю жизнь проработавшего в Казанском университете, крутилась и вращалась одна смутная мысль: с пятым постулатом Евклида что-то не так. Но - все по порядку.

В начале были постулаты

Примерно в двух тысячах лет назад по прямой от Лобачевского жил великий древнегреческий математик Евклид, который собрал все имевшиеся до него знания о геометрии в одну большую книгу - «Начала». Начиналась эта книга с семи определений и пяти постулатов - недоказуемых, интуитивно принимаемых на веру утверждений, на фундаменте которых возводились все дальнейшие рассуждения и теоремы.

Первые четыре постулата были лаконичны и стройны:

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.

В их истинности, наверное, никто не сомневался за всю историю мира, но пятый постулат звучал гораздо более запутанно и мало напоминал неоспоримую истину:

1. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Позже это утверждение в разных формулировках (самая распространенная из них гласит, что в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной) пытались доказать десятки математиков, но все они втягивались в одну и ту же историю. Их доказательства как будто сами себя кусали за хвост - упирались в утверждения, доказать которые без самого пятого постулата было абсолютно невозможно. Они больше напоминали сюжеты картин Эшера, чем строгие математические построения.

Лобачевского пятый постулат смущал не столько своей неаккуратностью, сколько философской нагрузкой: он поселял материю в какое-то застывшее абсолютное пространство, в систему координат, независимую от самой материи и существующую отныне и вовеки для всей Вселенной. Лобачевскому это не нравилось: он считал, что геометрия и реальность переплетены между собой, и писал в своих дневниках: «В природе мы познаем, собственно, только движение, без которого чувственные впечатления невозможны. Итак, все прочие понятия, например Геометрические, произведены нашим умом искусственно, будучи взяты в свойствах движения; а потому пространство само собой, отдельно, для нас не существует. После чего в нашем уме не может быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие - своей особой Геометрии».

Твердый материалист, он не мог принимать исключительно на веру, что параллельные прямые не пересекаются где-нибудь в бесконечности космоса. Да, Лобачевский сам не раз проводил геодезические измерения на местности и видел, что сумма углов в треугольнике всегда равняется 180 (а это еще одна эквивалентная формулировка пятого начала Евклида), но не мог обещать, что так будет со всеми треугольниками в нашем бесконечном пространстве.

Работа на пересеченной местности

Часто в математике, да и вообще в науке, бывает очень сложно доказать, что что-нибудь неверно или не работает. Примерно так же было и с пятым постулатом Евклида: у людей не получалось доказать его верность, но опровергнуть его было еще сложнее, особенно учитывая, что вся махина теорем геометрии Евклида была стройна и непротиворечива.

Поэтому Лобачевский в своей битве с пятым постулатом обратился к доказательству от противного. Чтобы посмотреть, что будет после этого со всей системой геометрических теорем, он попробовал заменить пятый постулат на его зеркальное отражение («Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие ее».). Не появится ли в них внутренних противоречий, косвенно указывающих на то, что изначальная версия пятого постулата - такая неаккуратная и контринтуитивная - была все-таки неизбежно верна в нашем пространстве? Но такого не случилось - противоречий не нашлось.

Поэтому Лобачевский взял первые четыре постулата Евклида, добавил к ним новый пятый и на этом стал строить новую непротиворечивую геометрию, описывающую реальный мир, как он надеялся, точней и глубже, чем геометрия евклидова.

Лобачевский даже хотел проверить свою геометрию в космосе - посчитать сумму углов в треугольнике, составленном из звезд, и посмотреть, будет ли она равняться 180 градусам, но все его эксперименты терпели неуспех. В них вкрадывались неточности и колоссальные ошибки, а самого Лобачевского рвали на части: в родном университете он теперь преподавал не только математику, но еще и физику с астрономией; ректор Никольский, мечтавший охладить его пыл, заставил Лобачевского наводить порядок в университетской библиотеке, а попечитель Магницкий сделал математика членом строительной комиссии при университете (судя по всему, проворовавшийся на строительстве Магницкий надеялся скинуть всю вину на нерадивого, витающего в небесах математика, но этот план не удался).

На чистую науку оставались жалкие крупицы времени, но Лобачевский все углублял свою геометрию - формулировал новые теоремы, строил утверждения и наконец 7 февраля (по старому стилю) 1826 года представил перед ученой комиссией Казанского университета свой труд - «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных».

Геометрия новая - проблемы старые

Задним числом жизнь великих идей кажется проще, чем она была в реальности. Да, вокруг косные люди, да, везде недоверие и нежелание расшатывать лодку, но даже с учетом этих отягчающих поправок траектория великой идеи в худшем случае кажется упругой сжатой спиралью, раскручивающейся через вязкую повседневность к свету истины. В реальности это скорей ломаная кривая блужданий - доклад Лобачевского от 7 февраля провалился.

Мы не знаем, какой формы был стол в помещении, где шел доклад, - прямоугольный, круглый или, может быть, овальный; мы не знаем, какие там были окна, стены, двери, но точно понимаем одно: мысли всех присутствовавших тогда шли совершенно перпендикулярными с неевклидовой геометрией путями. Незадолго до этого новый император Николай I сместил Магницкого с его должности, и все члены комиссии теперь думали, как это резкое движение извне поменяет их жизнь, и почти не обращали внимания на странноватого математика, рассказывавшего на французском о какой-то инопланетной геометрии.

Броуновское движение наночастиц в воде

Дальше рукопись была отдана на рецензию некоторым членам комиссии, но они в суматохе мрачных дней, видимо, просто позабыли о ней, и сам доклад так и не был одобрен к публикации. Тогда вся геометрия Лобачевского могла навсегда остаться внутри его головы, если бы не одна неожиданность: новым ректором университета вскоре был избран именно он.

Вряд ли у Лобачевского стало после этого меньше работы и больше сил, но постепенно он оформил свои идеи в законченный труд «О началах геометрии», который сначала напечатали в журнале «Казанский вестник», а потом представили на отзыв в Академию наук, где рецензия досталась одному из самых сильных русских математиков того времени - Михаилу Остроградскому.

«Автор, по-видимому, задался целью написать таким образом, чтобы его нельзя было понять. Он достиг этой цели; большая часть книги осталась столь же неизвестной для меня, как если бы я никогда не видел ее…» - вот его ответ. Новая геометрия остается непонятной. Блуждание продолжается.

Круги по воде

Понимание Лобачевский находит несколькими годами позже. Он публикует свои труды в европейских журналах, где их замечает великий немец Гаусс, который сам не один год втайне ото всех занимался неевклидовой геометрией. Чтобы лучше понять казанского ученого, он оперативно учит русский и потом, впечатленный смелостью и ясностью мыслей Лобачевского, выдвигает того в члены-корреспонденты Геттингенского королевского научного общества.

Признание встречает своего гения, хотя на родине Остроградский и люди его окружения раз за разом отклоняют все работы по неевклидой геометрии вплоть до самой смерти Лобачевского в 1856 году.

Проходит 12-15 лет, и математики находят сразу несколько реальных моделей, в которых работает именно геометрия Лобачевского. В самой простой из них, проективной, за плоскость принимают внутренность круга, а за прямую - его хорду. В результате тот очевидный факт, что через одну точку P , лежащую внутри круга, можно провести сколько угодно хорд, не пересекающихся с одной фиксированной хордой а , автоматически становится в таких правилах игры иллюстрацией пятого начала геометрии Лобачевского.

В 1868 году выходит доклад Римана - другого первопроходца с другой неевклидовой геометрией, в которой через каждую точку в пространстве уже невозможно провести ни одной параллельной прямой, и математикам постепенно становится понятно, что геометрии Римана и Лобачевского - невероятно похожие шаги влево и вправо от привычной евклидовой геометрии. Первая работает на поверхностях с положительной кривизной - вроде шаров или геоидов (параллельные у экватора меридианы встречаются на полюсах), а вторая - на поверхностях с отрицательной кривизной - вроде гиперболоидов или седел.

И еще чуть позже, в начале XX века, новая геометрия наконец встретится с физикой. Эйнштейн сформулирует свою общую теорию относительности в терминах геометрии Римана, и мысли людей, привыкшие ходить по одним и тем же параллельным рельсам, откроют новые маршруты: пространство и время не абсолютны. Движение меняет геометрию. А тысячелетние аксиомы не всегда верны.

Ни в какой. По определению, параллельные прямые не имеют точек пересечения.

Теперь давайте по геометриям и заблуждениям. Всюду будут рассматриваться "плоскости", чтобы это ни значило.

Геометрия Евклида. То, что учили в школе, то, что привычнее и почти точно выполняется в повседневной жизни. Выделю те два факта, что будут существенны потом. Первое: в этой геометрии есть расстояние, между любыми двумя точками существует кратчайшая, и притом только одна (отрезок прямой). Второе: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной и при том только одну.

Это соответствует какой-то паре аксиом из учебника Погорелова, поэтому мне удобнее будет на это опираться.

Геометрия Лобачевского. С расстоянием в ней все отлично, но нам его сложно представить из-за постоянной отрицательной кривизны (не поняли - не страшно). С параллельностью сложнее. Через точку вне прямой всегда можно провести не просто одну, а бесконечно много параллельных прямых.

Сферическая геометрия. Во-первых, что мы считаем "прямыми". Прямые на сфере - большие круги = круги, высекаемык на сфере плоскостью, проходящей через центр = круги радиуса равного радиусу сферы. Это прямые в том смысле, что это кратчайший путь между не очень далекими (чуть позже станет понятно, какими) точками. Некоторые могли заметить, что если города находятся на одной параллели, то самолет летит не по этой параллели, а по траектории выпуклой на север в северном полушарии. Если порисуете, то заметите, что большой круг, соединяющий две точки проходит северней параллели.

Чем же плохо расстояние на сфере? Возьмем диаметрально противоположные точки на сфере, для них существует бесконечно много кратчайших. Нагляднее: посмотрю на северный и южный полюса. Все мерилианы проходят через них, все они имеют одинаковые длины, любой другой путь будет длиннее.

Параллельных прямых при этом нет совсем, любые две прямые пересекаютсяются в диаметрально противоположных точках.

Проективная плоскость. Самое главное и первое отличие: никакого расстояния нет и быть не может. В принципе, его нельзя ввести, чтобы оно удовлетворяло каким-то естественным условиям (сохранялось при "движениях" плоскости). Таким образом, ни про какие "бесконечно удаленные прямые" сама геометрия не знает, все это придумано людьми, чтобы как-то понять проективную плоскость. Самый "простой" способ: представить привычную нам плоскость (так называемую "аффинную карту") и добавить к ней прямую, которая "бесконечно удалена", причем все прямые, которые были параллельны данной в плоскости, которую представили, пересекутся в какой-то одной точке на этой "бесконечно удаленной" прямой. Такое описание довольно просто: вот я что-то написал в два предложения, и кто-то что-то уже представил. Но оно вводит в заблуждение, никакой выделенной прямой в проективной геометрии нет. Но уже это описание показывает, что параллельных прямых